Cialkoskrypt6

250 4. Dynamika i przepływy guasi-rzeczywiste

Rys. 4.13. Rozkład siły wypadkowej działającej na profil na opór P_x i siłę nośną (wypór) P_z

W ogólności opór opływanego ciała stałego wynika nie tylko z różnicy ciśnień (naprężenia normalne), lecz jest również wynikiem działania naprężeń stycznych t_s, które zależą od lepkości płynu. Parcie działające na elementarną powierzchnię dA (rys. 4.13)

dP„ =-ń(p-p_co)dA,

stąd

P_xp = -(|(p-p₀₀)cos(p’dA = -(|pcos(p-dA, r    r

gdyż dla stałej wartości ciśnienia p_OT

<^Poo -coscp-dA = 0.

r

Z kolei opór tarcia wyraża się wzorem:

P_xl = C^x₀ -sin(p-dA. r

Zatem całkowity opór

Px=P,p+Px..

Dla ciał takich jak cylinder kołowy czy kula udział oporu ciśnienia jest znacznie większy niż oporu tarcia. Dla płytki umieszczonej równolegle w strumieniu opór całkowity składa się tylko z oporu tarcia, natomiast dla płytki ustawionej prostopadle do strumienia - tylko z oporu ciśnień.

W przypadku cieczy niełepkiej opór tarcia jest równy zeru, gdyż naprężenia styczne nie występują. Również opór ciśnienia jest równy zeru na mocy paradoksu d’Alemberta. W cieczy lepkiej występują oba te składniki, przy czym ich wartości zależą od kształtu ciała. Opór stawiany przez to ciało poruszające się w płynie lepkim powinien być proporcjonalny do pola A powierzchni rzutu ciała na płaszczyznę prostopadłą do kierunku ruchu, gęstości płynu p i kwadratu prędkości. Do takiego wniosku doszedł już Newton. Prawo to wynika z następującego rozumowania: ciało będące w ruchu powinno w ciągu jednej sekundy wypierać ze swej drogi masę płynu

m = A-p-v,

nadając każdemu elementowi płynu prędkość, którą można przyjąć za proporcjonalną do prędkości ciała. Zatem opór równy ilości ruchu nadawanej płynowi w ciągu jednej sekundy jest proporcjonalny do

m-v = A-p-v² .

Nieznany jest jednak współczynnik proporcjonalności. Wyprowadźmy wzór na opór, wychodząc z analizy wymiarowej. Zbadajmy zatem opór ciała (rys. 4.14) opływanego z prędkością v płynem lepkim o gęstości p i lepkości p.

Punktem wyjścia jest stwierdzenie, że każde równanie opisujące proces fizyczny musi być jednorodne wymiarowo. Podstawowymi wymiarami w mechanice płynów są: masa [kg], długość [m], czas [s] i temperatura [K], Zakładamy, że opór P_x zależy od gęstości, lepkości dynamicznej, rozmiarów ciała i prędkości, więc P„= P_x(p, p, /, v). Będziemy poszukiwać funkcji oporu w postaci

P, = cp“-/-f-v^s,

gdzie współczynnik c jest bezwymiarowym współczynnikiem proporcjonalności, natomiast stałe a, (3, y, S są niewiadomymi. Powyższe równanie ma następującą postać wymiarową:

kg-m

W wyniku porównania wykładników lewej i prawej strony w równaniu wymiarowym stojących przy tych samych wielkościach otrzymujemy następujący układ równań:

1 = oc + (3, l = 3a-(3+Y + 8-2 = -(3-5.