Cialkoskrypt 3

404 4. Dynamika i przepływy guasi-rzeczywiste

Rys. 4.97

Ponieważ założono, że A]/Aj » 1, przeto v, = 0, P] =p3 = p_b, zatem prędkość wypływu cieczy w przekroju 3-3 będzie związana tylko z wysokością słupa cieczy nad tym przekrojem:

A 7td

Tt-0,05

v_J=72g(H-h)=^ = -^-=-^t_r = 50,93 m/s.

Po przekształceniu otrzymujemy związek określający poszukiwaną wartość H:

H

₌ 1 f 4Q

1 f 4-0,1

2g^7id

2-9,81

ti-0,05'

+ 1 = 132,2 + 1 = 133,2m.

Słup ten wywołuje ciśnienie hydrostatyczne p_H = pgH = 1000-9,81 -133,2 = = 1306692 Pa = 13,067 bar = 1,3067 MPa.

Ciśnienie potrzebne w przypadku zmniejszenia wysokości słupa cieczy o połowę również obliczymy z równania Bemoullego, z tym że. teraz ciśnienie pi nie będzie równe ciśnieniu otoczenia:

^vi² , Pi

+ §i 7T'^h 1 =

P3

Po założeniu, że v_t «0 i p₃ = p_b, otrzymamy zależność na nadciśnienie pi - p_b:

-_D.₌M_₀/H__h1 _{= Pb}_UQ

Pi “Pb

7td

(H

2

- ₊ -pg[—-h j =

4-0,1

7t-0,05²

1000

-1000-9,81-

133,2

-1 =1296911-638645 =

= 658266 Pa = 6,58 bar = 0,658 MPa.

ZADANIE 4.13.82

Wyznaczyć położenie punktu na posadzce, na który spływa woda z otworu w ścianie pionowej zbiornika otwartego, jeśli poziom wody w zbiorniku H = 5m i jest stały, otwór zaś znajduje się na wysokości h = 1 m nad poziomem posadzki. Przeanalizować zasięg strumienia (odcinek AB na rys. 4.98) w zależności od wysokości położenia otworu.

Rys. 4.98

Rozwiązanie

Na podstawie wzoru Torricellego prędkość pozioma wypływu v = _A/2g(H - h) jest stała. W kierunku pionowym cząstki strumienia poruszają się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem a = g i po czasie t osiągają punkt B na podłodze, pokonując drogę

Wyznaczmy wartość AB = s = v • t = 2^/h-(H-h). Z tego wzoru wynika, że dla h —> 0 lub h —> H odległość AB dąży do zera, a zatem istnieje wartość maksymalna AB. Wartość tę określimy, obliczając I i II pochodną wielkości AB = s względem wysokości h położenia otworu:

ds

dh²

ds H-h-h „ ^dh /(H-h)-h

stąd

-3/2

Jh=-H

2

Ponieważ d²s/dh² < 0, przeto w punkcie h = H/2 wielkość s - s(h) osiąga wartość maksymalną, wówczas s = H.

Zauważmy, że zadanie to można uogólnić i szukać takiej wysokości H położenia lustra cieczy i wysokości h położenia otworu, aby strumień uderzał w posadzkę w odległości s od ściany naczynia. Wtedy