Cialkoskrypt1

240 4, Dynamika i przepływy guasi-rzeczywiste

Liczba Macha, W przypadku niemożności zaniedbania ściśliwości gazu musimy uwzględnić zmianę gęstości gazu p₀ w funkcji ciśnienia p₀. Zachowanie podobieństwa sił ciśnieniowych (parcia) wyraża zależność:

f Po 1 J Po 1

,Po^voJ, v Po^vo J₂

lub po pomnożeniu przez wykładnik izentropy K wzór:

f^Po/po^l -	( KPo/pol
l J,	l ^v0 J2

Ponieważ prędkość dźwięku w gazach termodynamicznie doskonałych jest wyrażona zależnością:

a² = kRT = k—,

P

to stosunek prędkości gazu do prędkości dźwięku wyraża liczba Macha:

v    ₂ v² v²

Ma = —, stąd    Ma² = —— =-.

a    a Kp/p

Liczba Macha Ma = 1 jest granicą pomiędzy przepływami naddźwłękowymi i pod-dźwiękowymi.

Ostatnia zależność w bezwymiarowym równaniu Naviera-Stokesa związana jest z liczbą podobieństwa Reynoldsa i jest definiowana jako:

£_e_ ^vo^o _    ‘(^vo^o) _ Po^o ‘(^vo^o) _ Po^o '(^vo^o)    _ 0v v₀

^v ^Po^o^vo /₀ (P^o Jest to więc stosunek siły bezwładności do siły tarcia.

4.7. Przepływ płynu rzeczywistego w rurze kołowej

Zakładamy, że przepływ w kierunku osi z jest wywołany gradientem ciśnienia o wartości -3p/ć)z = K, jak również może być wywołany ruchem rury wewnętrznej przesuwającej się z prędkością U. Ze względu na to, że nie odbywa się ruch w kierunku obwodowym, przyjmujemy, że v = 0, dp/3<J) = 0. Zakładamy przepływ

stacjonarny i pomijamy siły masowe oraz v = i- u+ j- v + k- w. Równanie ruchu w kierunku osi z ma więc postać:

dw    dw v dw    dw „    1 dp

(4.1)

— + u — +---+ w —— = F„---- + vAw ,

dt    dr    r 8(j)    dz    p dz

po uwzględnieniu powyższych założeń otrzymamy:

dw    1 dp

dz    p dz    [ dr²

d²w 1 dw 1 d²w

dr

d²w

d^

(4.2)

Ponieważ w = w(r), więc dw / dz = 0 oraz dw / d(j) = 0, przeto równanie (2) sprowadza się do prostej postaci:

(4.3)

(4-4)

1 _T,    f d²w 1 dw^j

p    ^ dr“    r dr j

którego rozwiązanie po dwukrotnym całkowaniu jest następujące:

Kr²

w(r) ---+C₍ lnr + C₂.

4jx

Rozważmy przypadek, gdy R_w =0 (przepływ rurą o pełnym przekroju). Tutaj mamy w punkcie r = 0 rozwiązanie nieograniczone. Aby otrzymać rozwiązanie ograniczone, przyjmujemy, że stała C, = 0. Stałą C₂ wyznaczamy z zerowania się prędkości w na powierzchni r = R _z, mianowicie

K • R²

w(r = R ) = 0, stąd 0 =--~ + C₂.

4p

Rozwiązanie równania (4.4) przybiera więc postać:

w(r) = ~(r² -r²)    (4.5)

4p^v    '

lub

^W(^r)= ^Wma_X[¹-(^r/RJ²]’ ^Wmax = W(0) .    (4.6)

Stąd strumień objętości przepływu

In R_z    R²    „ _w

0=1 } w(r)rd<j)dr = 27t-w_max •—^Ł = 7tR“ —= -w_ir,    (4.7)

o o    4    2

gdzie w_śrjest średnią prędkością przepływu odniesioną do przekroju poprzecznego rury: w_śr = w_[na!t 12. Z równania (4.7) wynika, że