Cialkoskrypt7

292 4. Dynamika i przepływy guasi-rzeczywiste

Dla objętości Q ograniczającej płyn normalna będzie skierowana na zewnątrz: n - -n_w . Z zasady zachowania pędu dla płynu mamy:

(d)

— JpcdH = JpFdQ + jr_ndA,

A = A_guA_suA_wy,, c = v + w .

Po wykonaniu różniczkowania i pominięciu siły masowej otrzymujemy:

J—(pć)-d£2 + J(pw_n • dA)• c = JpF-dA + Jf„ -dA, w_n = w • h .

Na powierzchni A_s prędkość w„ - 0. Po pominięciu siły masowej F (siła pochodząca od ciężar płynu skierowana jest przeciwnie do kierunku osi y) oraz naprężeń stycznych (wtedy x_n = -p • ń) powyższa zależność przyjmie postać:

(pć)-dQ + J(pw_n-dA)-c + j(pw_n.dA).ć = - J pń-dA- jpn-dA =

Q    A„    A u_,i    ArL/A.,    A

(e)

= -p₀-n-A_wyl- Jpn-dA.

Zauważmy, że n=-n_w lub n = n_z:

J—{pc)>dś2+ J(pw_n-dA)-c+ J(pw_n •dA)-ć = -p₀-ii_z-A_wyl + Jp-n_w-dA • (0

Prawe strony wyrażeń (c) i (f) różnią się tylko znakiem, więc po połączeniu tych wyrażeń otrzymujemy:

A

(g)

“^_v = — J~(^pc)-- J(pw_n-dA)-c- J(pw_n-dA)-c.

n    a„    a_w„.

Ponieważ

o ₍ 3p _ d /_    _ _x 3p /_    _ \    [ c»v dw

— (pc) = — *c + p—- (v + w) = — (v + w)+p--h-

3v 3w

dt

3t

at

at

at at

i w objętości Q prędkość w « 0 (stacjonarny wypływ) oraz v = v(t), więc

f-^-(pc)-dQ= iv ■

i^dt

JpdQ = m_n(t).

O

Z równania ciągłości płynu w objętości 0:

— + div(pw) = 0 3t

oraz z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego (zamiana całki objętościowej na powierzchniową) mamy:

J— dQ = -Jdiv(pw)dQ = -Jp• w_n - dA,    JpdQ = m_a(t),

gdzie m$ jest ilością płynu zawartą w objętości £2, zmniejszającą się z upływem czasu. W szczególnym przypadku, gdy p = const, to 3p / 9t = 0 . Po połączeniu otrzymanych wyników zależność (g) przyjmie postać:

- F = i • v

-Jp

w„ ■ dA

5v

⁺    J(p-w„-dA)-c- J(p-w„*dA)-c.

Prędkość w na górnej powierzchni A_g jest w przybliżeniu równa zeru, więc c = v + w~-i - v, a na powierzchni wylotowej ć = v + w = -i • v(t) + i • w , tutaj w = w„. Ponieważ A = A_wyi uA_su A_g, przeto

r    \

- F = i • v

- J pw_n - dA- Jpw_ndA- Jpw_ndA

V ^Awy(

9v

+ i ■ v- Jp- w_n • dA + i(v(t)- w)- J p-w_n *dA= i —m_Q(t) - i

3t

i -w<m_wyl =

t dv

= i--m<

dt '

: (t) ^—

i ■ w • m

wyl ’    wyl

= Jp

w„ - dA,

Ostatecznie na mocy równania (a) mamy:

uv uv    / \

^mw ^{=    w>m}'vyi

dt dt    '

dv dv

lub

(m_w +m_Q(t))^- = m_wyI - w.

/