IMG
05

210 Weryfikacja hipotez statystycznych

bieństwa i dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego lewą strony powyższego warunku możemy zapisać jako:

P(\u\k^ua)= P(ii<-vJ+ P(u>u_a) = <I>(-u_a)+l- P{u <u_a) =

₌ l_cp(_wJ ₊ i-o(»J = 2-20(_MJ

Stąd 2-2<b(u_a) = a. Z tablic dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego odczytujemy zatem taką wartość krytyczną u_a, aby spełniony byl

warunek: 0(w_a) = 1 — —.

Hipotezę H₀ odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej, jeżeli u e W — (-    j u (ii_a -co) . Natomiast jeżeli u g W , to nie ma podstaw do

odrzucenia H₀.

Wariant 2. Hipoteza alternatywna H.,: //>//₀

W tym wariancie konstruujemy prawostronny obszar odrzucenia, który ma postać W - (z/„;cc). Wyznaczamy go tak, aby był spełniony warunek P{u > u_a) = a. Interpretację graficzną przedstawia lysunek 6.4.

u«

Rys. 6.4 Prawostronny obszar odrzucenia skonstruowany na podstawie standaryzowanego rozkładu normalnego dla poziomu istotności a

Korzystając z własności prawdopodobieństwa i dystrybuanty możemy zapisać:

P(u>u_a) = \-P{u<u_a)~\-<s(u_a).

Zatem z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego odczytujemy wartość u_a spełniającą $>\u_a ) = 1 - a .

Hipotezę Ho odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej, jeżeli u e W, natomiast nic ma podstaw do odrzucenia I lo, jeżeli ii / IV .

Wariant 3. Hipoteza alternatywna H₁:

Tym razem konstruujemy lewostronny obszar odrzucenia tak, aby był •.pełniony warunek P(u<-u_a)-a. Interpretację graficzną przedstawia i ysunek 6.5.

Rys. 6.5 Lewostronny obszar odrzucenia zbudowany w oparciu o standaryzowany rozkład normalny dla poziomu istotności a

Lewostronny obszar odrzucenia ma postać fT = |*-oo; — w

Aby móc skorzystać z tablic (przedstawiają wartości dystrybuanty tylko dla argumentów nieujemnych), należy dokonać przekształcenia:

H¹¹ * ~^Ua ) = &(- ^Ua ) = ¹ - ®(«_a ) •

Zatem z tablic dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego odczytujemy taką wartość u_a , której dystrybuanta wynosi IbL) m 1 - a.

Hipotezę H₀ odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej, jeżeli u t II'. Natomiast jeżeli u i W, to nie ma podstaw do odrzucenia H₀.

Przykład 6.9

Z populacji, w której badana cecha ma rozkład A^r(//;0,4) wylosowano próbę /łożoną z 16 obserwacji. Średnia arytmetyczna z próby wynosi 1,4. Na poziomic istotności a= 0,05 zweryfikuj hipotezę, że średnia w populacji wynosi dwa, przyjmując obustronny obszar odrzucenia.

Rozwiązanie Stawiamy hipotezy:

H₀: /f=2,

Hf! 02,

Z treści zadania wynika, żc: x 1,4, cx 0,4, n = 16,cc = 0,05 . Zc wzoru (6.7) 1,4-2 r—

mamy u —-VI6    6 , Dla obustronnego obszaru odrzucenia odczytana z tablic