IMG
06

212 Weryfikacja hipotez statystycznych

rozkładu /V(0,I) wartość krytyczna wynosi n_a — 1,96, a obszar odrzucenia jest postaci; W ~ (-00;—l,96)u/l,96;oo), stąd u ~—6 e W , czyli odrzucamy H₀.

Można zatem sądzić z 95% prawdopodobieństwem, że średnia w badanej populacji jest różna od dwóch.    <P

Przypadek il. Populacja o rozkładzie normalnym z nieznanym a i wnioskujemy na podstawie małej próby

W tym przypadku korzystamy z testu t-Studenta.

Stawiamy hipotezę zerową, że wartość oczekiwana w populacji generalnej fi równa jest liczbie //₀, co zapisujemy H₀:

Opierając się na wynikach próby wyznaczamy średnią arytmetyczną i odchylenie standardowe z próby oraz wartość statystyki danej wzorem:

x - ju_n 1- , , „

/ =-(6.8)

i

gdzie:

x - średnia arytmetyczna wyznaczona z próby,

Mq- z góry określona wartość średniej arytmetycznej,

S- odchylenie standardowe wyznaczone z próby, n- liczebność próby.

Statystyka ta przy założeniu prawdziwości hipotezy H₀ ma rozkład t-Studenta o (n - 1) stopniach swobody.

Wariant 1. f&Mo

Stawiając w taki sposób hipotezę alternatywną konstruujemy obustronny obszar odrzucenia dla rozkładu t-Studenta, który ma postać IV (-°o; -) u (/_a; co). Interpretację graficzną przedstawia rysunek 6.6.

ZjY) Obustronny obszar odrzucenia zbudowany w oparciu o rozkład l-Sllldsnta dla poziomu

istotności u

Tablice rozkładu t-Studenta są tak skonstruowane, że podają wartość /’(j/| > t_a) = a. Jeżeli t m W , to odrzucamy hipotezę Ho na rzecz hipotezy alternatywnej. Natomiast jeżeli t g W, to nie ma podstaw do odrzucenia Hq.

Wariant 2. H.,: /y>//₀

W tym wariancie konstruujemy prawostronny obszar odrzucenia. W przypadku rozkładu t-Studenta obszar odrzucenia ma postać Wm(t_2a-,co), jak to widać na rysunku 6.7.

\

W

Rys. 6.7. Prawostronny obszar odrzucenia zbudowany w oparciu O rozkład t-Studenta dla poziomu

istotności a

Jak wspomniano, tablice rozkładu t-Studenta podają wartości t_a, dla których Pflfl > t_a) = a, a więc z własności symetryczności rozkładu

l-Studenta P(t >t„) = —

V a) ₂

odczytywać z tablic rysunek 6.8.

. Aby warunek P(t >t_2a)~a został spełniony, trzebi rozkładu t-Studenta wartość dla 2a, co pokazuje

Rys, 6.8. Jednostronny i dwustronny obszar odrzucenia zbudowany w oparciu o rozkład. t-Studenta

dla poziomu istotności cl