IMG20

242 Weryfikacja hipotez statystycznych

nie ma wartości dla S] = 5, s₂ = 113, przyjęto najbliższą jej wartość dla s₂~ 120). Obszar odrzucenia jest jówny W =<2,29;co). Ponieważ F s W , zatem odrzucamy hipotezę zerową i twierdzimy, że zależność między badanymi cechami jest nieliniowa.

6.3.10. Weryfikacja hipotez o istotności parametrów funkcji regresji

Szacując nieznane parametry równania regresji liniowej otrzymujemy oceny ich estymatorów, wyznaczone na podstawie posiadanej próby statystycznej. Należy zatem zweryfikować hipotezę, czy analizowane parametry er (j = 0, l, 2,..., k) istotnie różnią się od zera, co oznacza, że weryfikujemy

hipotezę dotyczącą zmiennej objaśniającej x ., zadając sobie pytanie, czy ma ona istotny wpływ na kształtowanie się zmiennej objaśnianej y. Tak więc hipoteza zerowa formułowana jest jako:

H₀: a_t m 0 (6.37)

wobec hipotez alternatywnych:

//1 : ety s* 0 ( 6.38)

dla obustronnego obszaru odrzucenia, jeżeli znak parametru nie posiada istotnego dla nas znaczenia,

//, : aj < 0 ( 6.39)

dla lewostronnego obszaru odrzucenia, kiedy wartość oszacowanego parametru jest ujemna, czyli zachodzi a_; <0,

//, i aj >0 ( 6.40)

dla prawostronnego obszaru odrzucenia, kiedy wartość oszacowanego parametru jest dodatnia.

Sprawdzianem tej hipotezy jest statystyka o rozkładzie t-Studenta o [n - (£+l )| (gdzie k - liczba zmiennych objaśniających w modelu regresji¹⁰¹ (5.3!)) stopniach swobody postaci:

t = (6.41)

S(^aj)

Hit

Jeżeli w modelu regresji brak jest wyrazu wolnego, to sprawdzianem jesl statystyka t-SiUdentn o (n-k) stopniach swobody.

Weryfikacja hipotezy o istotności parametrów polega na wyznaczeniu wartości sprawdzianu (6.41) i porównaniu go z wartością krytyczną odczytaną z tablic dla ustalonego poziomu istotności a oraz liczby stopni swobody, jak to zostało przedstawione przy weryfikacji hipotez o średniej (patrz 6.3.1). Odrzucenie hipotezy zerowej oznacza, że badana zmienna niezależna posiada istotny statystycznie wpływ na kształtowanie się zmiennej zależnej. W przypadku braku podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej mówimy o nieistotnym wpływie zmiennej jc na zmienną objaśnianą.

Przykład 6.29

Regresja liniowa liczby ofiar śmiertelnych (y) względem liczby wypadków drogowych (x) dla 18 krajów ma postać¹⁰²:

y = 0,0581* + 0,0314.

Sprawdź, czy ocena współczynnika a, =0,0581 przy standardowym błędzie szacunku 0,0231 na poziomie istotności a = 0,05 jest istotna statystycznie (różna od zera).

Rozwiązanie

Stawiamy hipotezy:

H₀ :a_] =0

//, : a, > 0

0 058

Z relacji (6.34) t——-= 2,515. Liczba stopni swobody to 18-1-1 *16

0,023

(k=\, bo mamy jedną zmienną niezależną w liniowej postaci funkcji regresji). Wartość krytyczna statystyki t-Studenta przy zadanych warunkach i postaci hipotezy alternatywnej Hi wynosi t_a —1,746, a więc W m (l,746;oo). Wartość empiryczna przekracza wartość krytyczną. Na poziomie istotności 0,05 odrzucamy Hq. Ocena a| = 0,0581 przy 5% błędzie 1 rodzaju okazała się istotna statystycznie, a więc liczba wypadków drogowych ma wpływ na liczbę ofiar śmiertelnych. <P