Matematyka 2 $3

242 IV Ruwnantu rvlniczkowf zwyczajne

skąd otrzymujemy

łn|t^J + 2t|=ln|x|+lnC, Ć>0,

|t' + 2li=ćlxl, C>0.

Wzory

|t^, + 2t|=Ć|x|, C>0; t = 0 można zapisać w postuci

(3)    [' + H = Cx, CgR.

przy czym x€(-<x>,0) lub X€(0,+x). Wzór (3) określa rozwiązanie ogólne równaniu (2) w postaci uwikłanej.

Ponieważ y = tx, więc z (3) otrzymujemy rozwiązanie ogólne równania (1) równie? w postaci uwikłanej

y' + 2yx^! -Cx^J =0. CeR.

przy czym x et-oo,0) lub x e(0.+co).    ■

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA

1.    Podać trzy przykłady równań o zmiennych rozdzielonych.

2.    Podać przykład równaniu o zmiennych rozdzielonych, którego rozwiązaniami są tunkcje y-0 i y = I dla x eR

3 Znuleżć wszystkie rozwiązania i naszkicować kilka krzywych całkowych równania;

a) y'+2xy^: =0,    b) y’= 2yctg2x ,    c) y' + z/y = 0,

d)y^,-f2y = 0,    e)y' + y²=0_f    0 y'-4x^ = 0,

xlnx

8) y' = ~r.    h)y'=-^T.    i)y'+4^=0.

x-l    x -4

4. Wykazać, że dowolne rozwiązanie y = y(x) równaniu y* = (I — 2x)y spełnia warunki:

lim y(x)=0.

lim y(x) = 0 i

5. Wykazać, że dla dowolnego rozwiązania y = y(x) równania

_x² +?

y' - —— y zachodzi jedna z równości x

lim y(x) = 0 lub limy(x) = 0.

« *o-    »-»o*

0. Ro/W'iązać równanie

a) y* = c ^v.    b) y^# = 2x(y+2), c) y*=y^J

^d)y’ = gl-

e) y' =

oy=^.

h)y = (2*-l)j*. i) 2y’ = y^!-I,

j) / =

cosx

k) y’ =

3^ + 1’

I) y

x-r

uy

xVl-lnx ‘    "    2y' + I

m) y' = -4-

n)y=^.

e^r

7. Znaleźć rozwiązanie szczególne równania spełniające podany warunek początkowy:

+ 1

y(0) = 2.

b)y' = y. y(l) = -2.

_C)y=^^. y(l) = c,    d)y' = y^J-l, y(0) = —2,

c)y' = ycosx. y(0)=l.

Oy = -Ą. yd) = -2.

1 + x*

g) y^,g /^X>    y(0)= 1/2. h) y' = 2Vycosx, y(n/2) = l/4.

Ja-x'

8. Rozwiązać równanie:

x+3y

a) y' c) y'

X

2x + y

„ . y+\/x²+y^: e) ? = —x >0,

_b)/=2fi^Z.

x* + 2xy

d) xy' = y(lny-lnx),

0 y' = ^y^-.

2xy

x