Matematyka 2 '5

274 IV. Rńuiuiniu rńinuzkimi'zwyccujne

Stąd C_: = 1. C_: =-l Rozwiązanie spełniające podane warunki brzcgo

określonejesi wzorem y = l-c\ xeR.

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA.

1.    Rozwiązać równanie y" = 6x przy warunkach brzegowych y(0) = 2. y(l)«l.

2.    Rozwiązać równanie y" = (x - 2)e'* przy waiunkach początkowych y(0)=l. y'(0)= I.

3.    Znaleźć wszystkie rozwiązania równania y"=6x, dla których y(0)=2.

4.    Rozwiązać rów nanie y" =-— , a następnie:

x

a)    znaleźć wszystkie rozwiązania, dla których y( I ) = I i naszkicow wykresy dwóch spośród tych rozwiązań;

b)    znaleźć rozwiązanie, dla którego y(I) = I. y(4)=--^ i naszkicować wykres tego rozwiązania;

c)    znaleźć rozwiązanie, dla którego y(l)=l, y'(^) = 0 i naszkicować wykres tego rozwiązania

5.    Sprawdzić, że każda funkcja postaci

y = (l-x)e* ln(l-x)+(x+C)c\ x<I. CeR,

jest rozwiązaniem równania y'*-2y' + y = ~— Czy jest to

I ** X

rozwiązanie ogólne tego równaniu w półplaszczyżnie D = |(x,y)eR²: x<l}?

6.    Stosując podstawienie y' = u(\) znulcźć wszystkie rozwiązania równania:

C)    = xe\

X

f) y"=(y')^J -1.

a) y*-—=0. x

d) y'' + (y')^: = 0, c) y";gx - y* = 1.

" (y) ^ry    u\    _v« . y _ _x/v^r^    h    _V"—y ^

g) y *=—■—•    ¹¹ *    y —my > •    •>    y

j) xy" = y'lny\    k)    y"-2x(/)^J =0.    I)    y” +c-(y')² = 0.

7.    Stosując podstawienie y* = u( y) rozwiązać równanie:

»)yV’=(y'ft    b) yy"-(/)* = yV    c)y'(l + y*)-y”_t

d) yy" = 2(y')⁵, e) (3y²+4)y" = -6y(y-)^J,    0 y"-2(y’)^ł = 0,

g)yy + y'«0, h) yy"-(y')^:+2y' = 0.    i)y"-(y')^:=0_f

j) (2y-siny)y" = (cosy-2Xy')². k) yy"(2 +lny) + (y')^: =0.

8.    Rozwiązać równanie przy podanych warunkach początkowych:

a) yy"-(y')^J = 0.    y(0)=l, y'(0)=-l_t

b)    y'* = -^ + 2lnx, y(l) = i. y'(l)=i,

^c)    (i + y^:)y"-2yy'(i + y'). y(-l)=-i. y^,(-D=i,

d)    yy"+(y^#)²=(3y²+2y)y\ y(0) = l. y'(0)=2_f

e) l + yV = 0. y(2) = -l. y'(2)=l,

0 xy^M = y'(l-y'). y(l)=l. y'(l) = 2,

g) y" -2x(y')² =0, y(l) = 0, y'(l) = -l/2.

Rozwiązać równanie przy podanych warunkach brzegowych: aj y"- — =Ą. y(l)=2. y<2)=9/2.

^x X

b) (y + 2)y”-2(y‘)¹ =0, y(0) = 0, y(l)=-3/2,

^C)y"-lHS7=f XO=0. yte¹)—e*.

d) y"+(y')^J = 0. y(0)=0, y(l) = l.

O yy”+(y’)² = 0. y(-i)=-4. yd)=-2,

0 y”=—t=, y(I)=0. y(4) = c^J.

2Vx