Photo004

Ekonometria Współczesna Estymacja jcdnorównamowego liniowego moaeiu CKonomeirycznego

Znajdowanie minimum funkcji kryterium 3.9:

Funkcja posiada minimum w punkcie jeśli spełnione są dwa warunki:

Warunek I

Pochodna cząstkowa funkcji vj/ względem wektora ocen parametrów a jest równa zero:

^KozH

dy(a)_

da

Warunek II

Druga pochodna cząstkowa funkcji y (macierz Hessa) względem wektora parametrów a jest macierzą dodatnio określoną, czyli:

a²v(a)

= 0.

da'

>0.

Rozwinięcie warunku I

Pochodna cząstkowa funkcji y względem wektora ocen parametrów a dana jest

wzorem:

<Ma)_

da

= -2X^Ty + 2X^TXa .

Przyrównując wartość pochodnej funkcji y do zera otrzymuje się:

M0_=o,

da

inięcie warunku II

pruga pochodna cząstkowa funkcji y względem wektora parametrów a dana jest wzorem:

dMiL ₂X^tX.

9a

Przyrównując wartość drugiej pochodnej funkcji y zgodnie z warunkiem na istnienie minimum funkcji, otrzymuje się:

2X^tX >0.    (³¹⁰>

Z warunku II na istnienie minimum funkcji wynika, źe macierz X^TX jest dodatnio określona. Macierz jest dodatnio określona, jeżeli minory główne danej macierzy są dodatnie.

Jeżeli spełnione są warunki I i II na istnienie minimum funkcji, to rozwiązaniem funkcji kryterium y są elementy wektora ocen parametrów strukturalnych a.

danego wzorem:

a = (X^TXr^,X^Ty_ł (3.11)

przy założeniu, że det(x^rx)*0.

Objaśnienia do budowy wzoru na wektor ocen parametrów a = (X X) Xy

X^TXa - X^Ty = 0,	Budowa macierzy X ^1 X:
(X^TX)^l/X^TXa = X^Ty,		1 i ... i '		1 XU X{2 — *| K
a = (x^Tx) 'x^Ty. 1	x^Tx =	*11 *21 ”• ^XN\	X	^1 *21 *22 •” *2A:
Otrzymany wektor a jest wektorem ocen parametrów strukturalnych postaci:		_*l K ^X2K *” ^XNK_	(K+l)xN	1 *tfl ^XN2 •** ^XNK.

NAK+\)

N

Zx

a

_■^aKJ

gdzie:

(at.i)

a₀,a_l,...,a_K    - oceny nieznanych parametrów strukturalnych, będące

rozwiązaniem KMNK.

^Zx*

	-
	- *Vn
Zx^2 »2	:
...	r, * • H W

(K + l)x(K + I)

Macierz X ^rX jest macierzą kwadratową i symetryczną. Budowa macierzy X ^ry :