Photo006(2)

Ekonometria Współczesna

,Jvar(a₀) = S(a₀), Vvar(ol) = 5(fl,),

yJvar(a_K) = S(a_K).

Średnic błędy ocen parametrów przy oszacowanej postaci modelu zapisuje się w następujący sposób:

y, = a₀ + o, x_u+ a₂ x_2i +... + a_K x_Ki,    (3.17)

S(a₀) S(^fli) ^s(^a2)    ^s(°k)

gdzie:

y₍. - oszacowane wartości zmiennej objaśnianej Y, x_ki - obserwacje na zmiennej objaśniającej X_k, a₀ - ocena wyrazu wolny, a_k - oceny parametrów strukturalnych modelu,

S(a_k) - średnie błędy ocen parametrów strukturalnych.

Interpretacja średnich błędów ocen parametrów:

Szacując parametry strukturalne modelu na podstawie N-elementowej próby, mylimy się średnio o S(a_k)w stosunku do oceny parametru a_k.

Własności estymatora klasycznej MNK

ZGODNOŚĆ

Estymator KMNK dany wzorem: a = (X^TXr'X^Ty

jest estymatorem zgodnym, jeżeli spełniony jest następujący warunek: plim(tf) = a. Powyższy zapis jest tożsamy z zależnością postaci:

»co

p lim(ci - a) = 0.

n-> co

Estymator średnich błędów ocen parametrów KMNK dany jest wzorem: Var(a -a.) = S* (x^Tx) '

gdzie:

lim

n—>cc

^x^Tx^

= Q

(Q jest macierzą skończoną i nieosobliwą),

stąd wynika następująca zależność:

lim Var(a - a) = lim	Se	[ ^XTX1	-l"
n-+ oo /ł-*=o	n	l ^n )

NIEOBCIĄŻONOSC

Estymator KMNK dany wzorem jest estymatorem nieobciążonym, jeżeli spełnia warunek postaci:

E (a) = a

Z założeń klasycznej MNK:

E(X_k, e) = 0 (zmienne objaśniające nie są skorelowane ze składnikiem

losowym),

E(e) = 0 (wartość oczekiwana składnika losowego jest równa zero), wynika, że wartość oczekiwaną z estymatora można wyrazić zależnością postaci:

E(a) = e[(x^tx)'' X^Ty]= e[(x^tx)~‘ X^T(x^Ta + e)J= ... = e[o + (x^Tx)~' X^Te =

= a + E (x^Tx)~‘ X^te = a + (x^Tx)'' X^tE(e) = a

EFEKTYWNOŚĆ

Estymator KMNK jest estymatorem efektywnym, jeżeli spełniony jest następujący warunek:

D²(a) = V(a) = 5_e²(X^TX)^_1 -> min

Estymator KMNK jest najlepszym estymatorem w klasie estymatorów liniowych i nieobciążonych, jeżeli istnieje taka macierz A dana wzorem:

A = V(a")- V(a),

gdzie:

V(a")- macierz wariancji-kowariancji każdego innego estymatora rozważanej klasy.

Macierz A jest macierzą określoną nieujemnie (lub dodatnio półokreśloną), jeżeli elementy na głównej przekątnej tej macierzy są większe lub równe zero, tj.

^Var(V)-var(aJ>0

gdzie:

var(a_A ") - odpowiednie wariancje estymatora a" , var(a_A) - odpowiednie wariancje estymatora a.

55