Rzuty monge'a3

53

§ 5. Rzuty punktu ma dwie rzutnie

dla punktu    2    —    rzut    poziomy i pionowy nad osią x;

dla punktu    3    —    rzut    poziomy nad, a rzut pionowy pod    osią

dla punktu    4    —    rzut    poziomy i pionowy pod osią x.

Zadanie

1. Dany jest punkt M na rzutni tjj i punkt N na rzutni n.,; znaleźć na osi x taki punkt O, aby suma odcinków MO + ON osiągała minimum.

§ 6. Rzuty i ślady prostej

W zasadzie rzuty prostej tworzymy w następujący sposób: Przez przyjętą prostą, np. I (an. 16), prowadzimy dwie płaszczyzny i e₂, odpowiednio prostopadłe do obu rzutni n₁ i rt₂; nazywamy je płaszczyznami rzutującymi. Ich krawędzie przecięcia z odpowiednimi rzutniami, a więc proste V = tjjij i l" = e₂u₂ — to rzuty poziomy i pionowy prostej l. Takie dwa rzuty określają w sposób jednoznaczny położenie prostej l w przestrzeni, potrafimy bowiem przeprowadzić przez nie z powrotem płaszczyzny    i e₂ J_rt₂,

których krawędzią jest w rezultacie prosta l. Wyjątkowo, jeżeli prosta jest prostopadła do jednej rzutni (jest więc promieniem rzutującym z § 5), to zbyteczne staje się prowadzenie płaszczyzny s prostopadłej do tej rzutni; odnośnym rzutem takiej prostej jest punkt (przebicia rzutni przyjętą prostą). (Przypadek, gdy z góry dane są rzuty prostej V = l"_La?, opisano na str. 56 i 57).

Z wyżej opisanego sposobu tworzenia rzutów wynika, że promienie rzutujące dowolny punkt wybrany na prostej leżą w odpowiednich płaszczyznach rzutujących, a co za tym idzie, że rzuty takiego punktu leżą na odpowiednich rzutach prostej (an. 16 i rys. 2.3). Wynika z tego również wniosek odwrotny:

Rys. 2.3

Rys. 2.4

jeśli rzuty prostej (nieprostopadłej do osi x) przechodzą przez odpowiednie rzuty punktu, to prosta przechodzi przez ten punkt. Stąd dwa punkty przyjęte za pomocą swoich rzutów wyznaczają rzuty i położenie prostej przez nie przechodzącej (rys. 2.4).

Ćwiczenie 1. Wykreślić rzuty prostej m przechodzącej przez punkty A(A'A") i B(B'B") oraz wyznaczyć rzuty środka odcinka AB (rys. 2.5).