tabela2

B. Paluchiewicz: Analiza matematyczna

Zatem    J f (x )dx = F( x) + C.

Poszukiwanie funkcji F(x), gdy znana jest jej pochodna f(x) = F^/(x) czyli działanie odwrotne do różniczkowania nazywa się całkowaniem.

Z definicji całki wynika, że:

[fr(x>ixj = r(x)

czyli

}F'(x>lx = F(x) + C.

6.1.1 Własności całki nieoznaczonej i podstawowe wzory rachunku całkowego

Własności całki nieoznaczonej:

- Ja • f (x)dx = a • Jf(x)dx - czynnik stały wolno wyłączyć przed znak całki,

• J(^x)+ f₂(^x)“ f₂(^x)]dx = J f, (x)cłx +Jf₂(x)dx -1f,(x)dx - całka sumy jest

równa sumie całek poszczególnych składników przy założeniu, że funkcje f,(x). f,(x) i fj(x) mają funkcje pierwotne - wystarczy założyć, że funkcje te są ciągłe w pewnym przedziale.

Przy obliczaniu całek należy posługiwać się podstawowymi wzorami zamieszczonymi w poniższej tablicy.

Wzory ogólne	Wzory szczególne
xkO fx^ldx- +C k* 1	f dx = x + C x^2 f x dx + C ^J 2 f-Ldx=-- + C X X
J^dx = ln|l(x] + C <il)^d”^2'^/Fra*^c	f—dx = ln|x| + C X j-i^dx = 2- Vx + C vx

x + V a² + x²

f—

a + x dx

= In

x 4

>/v² + k

+ C

+c

f r-    ln x + \ZT+ x²

J + xi

+ c

x" + k

J —-j—dx = tgx + C

COS X

| dx = -clgx + (!

sin x

r dx    I    X

J;i_₂ arctg~+C

3

x² + a² a dx

f UA    I

^x^J-a^J=2-a ”

J—5——-_T=—-— In ³ a² - x²    2-a

x - a

x + a a + x a - x

+ C + C

r dx

] —>—- = arclgx f C ³ x +1

r dx 1

i—r 2^,n

J-^_r = i In ^Jl-x² 2

x-l

X + I I 4^X

f-x

+ C

ł c

jc^xdx = c* +('

je~*dx = -c * +C Jsin xdx = —cosx + C

Jcosxdx =sinx + C

fa'dx= — + C ^J    In a

fc^k,dx =i-c^k * + C [_k___

f sin (a • x )dx =---cos(a • x) + C

³    a

J cos(a ■ x)dx = — • sin (a • x)+ C

r dx    .x _

= arcsin — + (

ia‘-x^!

r dx -- arcsin x + C

¹ Vl - x²

f-s/a² - x ’dx = — - arcsin — + J    _2    2

| 1 - x ' dx = ^ • arcsin x 4-

•f - • Va² - x² + C 2

|+ k dx = ---ln|x f Vx² f k | +

+ — • Vx² + k + C 2

+ ^x-7i x⁷ + r

f J\' + I dx =.....In x ł Vx² + 1 +

³    2    I

•i — • Vx ² 4- I 4 C 2

}/x² -ldx=^*lnx+Vx^ł-l| +

+ -^X-Vx^ł-I+C 2