Zarz Ryz Finans R1388

388 Zarządzanie ryzykiem finansowym

Drugi człon równania jest iloczynem dwóch czynników:

•    zdyskontowanej ceny wykonania

•    prawdopodobieństwa, że w dniu wygaśnięcia opcji cena akcji będzie wyższa od ceny wykonania.

Wartość opcji kupna wg Blacka-Scho-lesa waha się od zera (w przypadku opcji bez wartości wewnętrznej) do różnicy pomiędzy ceną akcji a zdyskontowaną ceną wykonania (w przypadku opcji o dużej wartości wewnętrznej). Aby się o tym przekonać, rozważmy dwa skrajne przypadki:

Opcja kupna nie posiadająca wartości wewnętrznej (S* << X). Iloraz ceny akcji i ceny wykonania jest dużo mniejszy od 1 - S/X < < 1. Logarytm takiego ilorazu jest ujemny - ln(S/X) < < 0

- toteż obszar rozkładu normalnego od minus nieskończoności do tego punktu jest bardzo niewielki-N(ln(S/X)) -0. Wartość opcji kupna nie posiadającej wartości wewnętrznej jest więc w przybliżeniu równa zeru.

Opcja kupna o dodatniej wartości wewnętrznej (S* > > X). Iloraz ceny akcji i ceny wykonania jest dużo większy od 1 - S/X > > 1. Logarytm takiego ilorazu jest dodatni - ln(S/X) > 0 - toteż obszar rozkładu normalnego od minus nieskończoności do tego punktu jest bliski jedności-N[ln(S/X)] -s> 1. Wartość opcji kupna o dodatniej wartości wewnętrznej jest więc w przybliżeniu równa S —> Xe'^T.

Modele analityczne

Podobnie jak rozróżniamy pomiędzy plemionami analitycznymi, numerycznymi i aproksymacji analitycznej, możemy podzielić plemię modeli analitycznych na odrębne rody - uogólnienia modelu Blacka-Scholesa oraz jego rozszerzenia. Omawiając ten temat, będziemy w możliwie największym stopniu podkreślać podobieństwa i różnice członków tych rodów; będziemy w tym celu wskazywać na ich związek z modelem Blacka-Scholesa, tzn. pokażemy, jak można zmodyfikować równanie 13.13, aby uzyskać analizowany model wyceny opcji.

Uogólnienia modelu Blacka-Scholesa

Jak pokazuje tabela 13.1, model Blacka-Scholesa opiera się na pewnej liczbie założeń. W pierwszym dziesięcioleciu po opublikowaniu modelu Blacka-Scholesa zostały opracowane modele wolne od poszczególnych założeń. „Genealogię” tego rodu w obrębie plemienia modeli analitycznych przedstawia ilustracja 13.5. Modele z rodu generalizacji możemy również zwięźle opisać poprzez wskazanie, od jakich założeń pierwotnego modelu w nich odstąpiono. Zestawienie takie zawiera tabela 13.2.