Zarz Ryz Finans R1394

394 Zarządzanie ryzykiem finansowym

tylko kumulatywny standardowy rozkład normalny N{.}, ale również kumulatywny dwuwymiarowy rozkład normalny MWedług Johna Hulla^s model opracowany przez Roiła, Geske i Whaleya można zapisać jako:

394 Zarządzanie ryzykiem finansowym

C = S¹

+ M

N<

/rt

+ XM

, ^

In. (I-)' + (r +

c4f,

In (!/+(/•- ?)¹1

+ (/•

-e

-iT

(S-e'^T“ti	4-	f , a-n	T, In	(S-e~^rT"D\
X V J	T	l ^2J		s \ 7

+

t. ^

r H--

2

In

S-e^rT’&

X
V	7

\T, In

a/T)7

'S-e~^rT"D^{A /}

_r2\

(13.21)

s

+\r

’ rr»

gdzie D oznacza ostatnią dywidendę przed wygaśnięciem opcji, T₀ - czas do wypłacenia ostatniej dywidendy, a S jest rozwiązaniem równania C(S ,7) = = S + D -X. Wobec znacznej złożoności wyceny analitycznej nie można się dziwić, że większość użytkowników wycenia opcje amerykańskie za pomocą modeli dwumianowych i modeli aproksymacji analitycznej (również omówionych w tym rozdziale).

Powyższe wyliczenie żadną miarą nie stanowi wyczerpującego katalogu analitycznych modeli wyceny opcji, które opracowano i z których się korzysta. Można tu jeszcze wspomnieć np. o modelu opracowanym w 1978 r. przez Williama Margrabe, służącym do wyceny opcji zamiany jednego waloru na drugi, czy o modelu Rene Stulza z 1982 r., w którym wycenia się opcję na minimum lub na maksimum z dwóch ryzykownych walorów.

Modele numeryczne

Plemię modeli numerycznych obejmuje trzy rody. Najlepiej znany jest ród modeli dwumianowych; pozostałe dwa to modele skończonej różnicy i modele symulacji Monte Carlo.

1

Hull (1989), s. 131-133.