0132

134

IX. Całka oznaczona

Według metody prostokątów mamy:

	•*i/2 — 0,05	ż-i/2 = 0,9975
	*3/2 =0,15	y>u = 0,9780
	-*5/2 ^= 0,25	ySI 2 = 0,9412
	*7/i = 0,35	,v7/2 = 0,8909
	-*9/2 — 0,45	>^ł9/2 = 0,8316	7,8562
	ru/2 = 0,55	yn/2 = 0,7678		0,78562
	*13/2 = 0,65	y 13/2 — 0,7030	10
	*i s/2 = 0,75	yu/2 = 0,6400
	■*i7/2 = 0,85	y17/2 “ 0,5806
	■*19/2 — 0,95	y 19/2 ^= 0,5256
	Suma 7,8562
Ze wzorów trapezów otrzymujemy:
	O o 1! o	y0 = 1,0000	*. = 0,1	yk = 0,9901
	*io = 1.0 yko = 0,5000		*2 = 0,2	y2 = 0,9615
			*3 = 0,3	y3 = 0,9174
	Suma	1,5000	** = 0,4	yt = 0,8621
			Ut II P	y5 = 0,8000
			*6 = 0,6	ys = 0,7353
ii	( 1,5000 + 7	) = 0,78498	*7 = 0,7	y7 = 0,6711
	^ 2	/	*s = 0,8	y. = 0,6098
			*» = 0,9	y9 = 0,5525

Suma 7,0998

Oba otrzymane wyniki przybliżone mają mniej więcej ten sam rząd dokładności — różnią się one od wartości dokładnej o mniej niż 0,0005 (w jedną i drugą stronę).

Czytelnik zdaje sobie oczywiście sprawę z tego, że w tym przypadku mogliśmy oszacować błąd tylko dlatego, że od początku znamy dokładną wartość tej całki. Na to, żeby oba wzory były rzeczywiście przydatne do obliczeń przybliżonych, potrzebne są wygodne wzory do obliczania błędu, które pozwalałyby nie tylko oszacować błąd, ale również dobierać n w ten sposób, by zagwarantować żądaną dokładność. Do tego zagadnienia wrócimy jeszcze w ustępie 325.

323. Interpolacja paraboliczna. Aby obliczyć przybliżoną wartość całki j f(x) dx można spróbować

«

zastąpić funkcję /(*) aproksymującym ją wielomianem

(3)    y = W = a₀** + «i**~' + ...    +

i przyjąć

b    b

j /(*) dx * J/»(*) dx .

Inaczej mówiąc, zastępujemy tu, przy obliczaniu pola, daną „krzywą” y = f(x) przez parabolę (3) stopnia k. W związku z tym metoda ta otrzymała nazwę interpolacji parabolicznej.

Wielomian interpolacyjny P_k(x) wybiera się najczęściej w sposób następujący. W przedziale O, b)

bierzemy fc+1 wartości zmiennej niezależnej f₀> fi.....f* i dobieramy wielomian P_k(x) tak, ażeby dla

wybranych wartości zmiennej niezależnej przyjmował on te sAme wartości, co funkcja f(x). Wielomian