stat Page resize

18 2.4 Zmienna losowa

2.3.2 Niezależność zdarzeń

Definicja 2.9. Zdarzenia A i B nazwiemy niezależnymi, jeżeli

P(i4 n i?) = P(j4) P(2?) .    (2.13)

Niezależność probabilistyczna zdarzeń ma wiele wspólnego z intuicyjnie rozumianym „brakiem wpływu”. Jeśli A i B są, niezależne oraz P(fi) > 0, to

?(A\B) =?(A) ,    (2.14)

gdzie P(>1|jB) jest prawdopodobieństwem warunkowym zgodnie z poniższą definicją.

Definicja 2.10. Niech A,B £ T i P(B) > 0. Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A pod warunkiem zdarzenia B nazywać będziemy

P(4|B) = ^P<p₍^C_b)^B) •    (2.15)

Niezależność zdarzeń możemy rozszerzyć na więcej niż tylko dwa zdarzenia, wymaga to jednak sprawdzenia większej liczby warunków.

Definicja 2.11. Zdarzenia Ai, A?,A3,..., A_n £ J- są niezależne, jeśli spełniony jest układ równań

P(Ai n Aj) = P(4() P(^)    (2.16)

P(j4i nAjO A_k) « P(A_t) P(Aj)P(A_t) (i <3 <*),...    (2.17)

P(/li n... n A„) = P(Ai)... P(A„) .    (2.18)

2.4 Zmienna losowa

Definicja 2.12. Funkcję X określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych O o wartościach w przestrzeni rzeczywistej nazywamy zmienną losową, jeśli dla każdego t £ R zbiór

{w£Q: X(w) < t}    (2.19)

jest zdarzeniem losowym (czyli należy do J-).

Pojęcie zmiennej losowej jest bardzo użyteczne. Po pierwsze, w większości zastosowań rzeczywiście interesują nas pewne w^rartości liczbowe związane z modelem probabilistycznym, np. ilość oczek na wyrzuconej ściance kości, czas do przyjazdu autobusu, czy do momentu pierwszej aw^rarii urządzania. Po drugie, wykorzystanie tego pojęcia pozwala nam się „oderwać” od (być może bardzo skomplikowanej) przestrzeni probabilistycznej Q i przejść do „bardziej naturalnej” dziedziny liczb rzeczywistych, nie tracąc przy tym nic w opisie modelu.

Wykorzystany w definicji warunek ma znaczenie głównie techniczne - dzięki temu zapewniamy funkcji X mierzalność względem cr-ciała T. W praktyce każda dostatecznie „rozsądna” firn keja określona na przestrzeni fi jest zmienną losową.

Definicja 2.13. Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest to funkcja, która zbiorowi B C R przyporządkowuje liczbę

(2.20)

?(X£B) = ?({w£Q:X(w)£B}) .