35392 str284

284 5. ZARYS RACHUNKU TENSOROWEGO

a stąd wobec ortogonalności układu sferycznego mamy a_mn = 0 dla m # n oraz

,2    /a,.\2    /a_\2

Zadanie 3.2. W układzie współrzędnych sferycznych x^r, gdzie X¹ = g, x² — 0, x³ = ip dane jest równanie ruchu 1 = l(t),

(1)

Q

= t, 0 —    (p = sjlt.

Obliczyć długość przebytej drogi w przedziale czasowym te (0, 5) oraz składowe wektora kontrawariantnego prędkości.

Rozwiązanie. Jak wiemy (patrz zad. 3.1) współrzędne tensora metrycznego a_mn we współrzędnych sferycznych wynoszą

a_mn = 0 dla mjtn, fln = l, a₂₂ = g¹,    a₃₃ = g² sin² 0.

Korzystając ze wzoru (3.21) oraz relacji (O i (2) wyznaczamy długość łuku

(2)

f / dx^m dxⁿ

~ J\^amnlT'li^dt~

-U

0

5

L — J Vl -\-t²dt = iVl +r + iln|t+ -s/1 +1² |jo =

o

= ±[V26 + ln(5+V26)-l].

dl

Składowe kontrawariantnego wektora prędkości V^k = —- wynoszą

dt

dg    dd    dip

—- = 1    — = 0 —

dt ’ dl ’ dt

= V2.

Zadanie 3.3. Dany jesi układ współrzędnych krzywoliniowych x^r związanych ze współrzędnymi kartezjańskimi y^r następującymi zależnościami:

(1)

y'=x^lx², y² = (x²)², y³ = x‘ cosx³.