30636 p0012

Zbiory i funkcje liczbowo

12¹7    -••••........................rr......

a)/(*) = ar³, R_} b)g(x) = -_: (0,oo); c) h(x) = .r⁴ + x² + 1,

Rozwiązanie

a)    Pokażemy, że funkcja /(z) = z³ jesL rosnącą na R. Niech xx,x-j € R oraz niech < X2- Wtedy mamy

/(**) - /(*0 «C»f - (*0^a = N -*0 [NP+«** - (*i)²]

= (x₂ - Xl) + y).#* (^l)²] ■

Zauważmy, że pierwszy czynnik otrzymanego iloczynu jest dodatni, a drugi jest nieujemny (równa się 0 tylko dla ici = X2 = 0). ZaLeiri

/N) -/Oi) > o,

b)    Pokażemy, że funkcja ^(.r) = — jest malejąca na przedziale (Q,oo). Niech £1,3:2 G (0,oc) oraz niech _Xl < x₉. Wtedy

Ponieważ licznik ułamka jest ujemny a mianownik dodatni, więc g (x^) — g(x 1) < 0, co oznacza, że funkcja g jest malejąca na rozważanym przedziale.

c)    Pokażemy, że funkcja. A(t) = x⁴ + t² + 1 jest malejąca na przedziale (-00, Niech .ri, ara G (-00, 0] oraz x\ < x₇. Wtedy

h(r. ,) - h[xi) - {x\ - x\) + (.x\ - x,)

= O2 -#s)Oa ~{ni + *?) +(*2-*i) O2 + *1)•

Ponieważ pierwsze czynniki w ohu składnikach są. dodatnie a drugie ujemne, więc A (ta) — h(x 1) < 0. Oznacza to, że funkcja h jest malejąca na rozważanym przedziale.

• Przykład; OiG . :    .N:;;;: i:^:!.:v    ....... i:.:.:..

Określić f.:nkeje złożone: / o /, / o y, yo/, g o #/, jeżeli:

4 #M = **, M** 2*₍ b) /■» = 2 + cos    = y*.

Rozwiązanie

a)    Mamy

(/ o /)(*) = / [/(*)] - f?®f = x‘, gdzie x 6 R. ■

(/ ° »)(») = / [»(x)] = (2*p = 2³\ gdzie * 6 R.

(.?»J}(4 = »[/(*)) = 2^) = 2*”, gdzie x 6 R.

(»oj)(«J a»[»(*)) =    gdzie * e B.

b)    Mamy

C/°/)(4 = / [/(4j = 2 + WSfSS + co* «J, gdzie zer:

(/ o 4(4 = f ts(x)] = 2 + cos \/x, gdzie i>0.

(# o /)(x) -«,7(4"- V2 + cosx, gdzie X g R.

(t ° 4(4 = 9 [9(41 =    = ^4 gdzie x ^ 0.