CCF20090120133

idzie ślepo za podręcznikiem, i uczy postępu arytmetycznego i geometrycznego tylko dlatego, że znajdują się one w książce.

Zetknęliśmy się już z dwoma przykładami postępu arytmetycznego (nie zaznaczając tego wyraźnie). Człowiek skaczący z dachu domu przebywa 1 stopę w ciągu pierwszej ćwiartki sekundy, 3 stopy w ciągu następnej ćwiartki sekundy, 5 stóp w ciągu trzeciej ćwiartki, 7 stóp w ciągu czwartej ćwiartki itd. Całkowita droga przebyta w czasie sekundy wynosi 1+3+ 5 +7 stóp. W ciągu liczb 1, 3, 5, 7 itd. każda liczba jest o 2 większa od poprzedniej. Ciąg liczb, w którym każda liczba jest większa (albo mniejsza) od poprzedniej o ustaloną wielkość, nosi nazwę postępu arytmetycznego.

Drugi przykład mieliśmy w ,rozdz. 12, gdy dodawaliśmy do siebie liczby 0, 0,01, 0,02 itd. aż do 0,09. Te liczby także tworzą postęp arytmetyczny. Dalej w tym samym ustępie widzieliśmy, że moglibyśmy otrzymać lepsze oszacowa-

l

nie całki f x dx, gdybyśmy pierwszą sekundę

o

podzielili nie na dziesięć, ale na sto części. Musielibyśmy wtedy obliczyć sumę 100 liczb zaczynających się od 0, 0,0001, 0,0002, a kończących się na 0,0098, 0,0099. Czy można sobie tę pracę uprościć, nie wykonywać dodawania kolejnych liczb do siebie? Tak, to jest możliwe. Suma pierwszej liczby, 0, i ostatniej, 0,0099, wynosi 0,0099. Suma drugiej liczby, 0,0001, i przedostatniej, 0,0098, także wynosi 0,0099. Postępując dalej w ten sposób możemy (wszystkie liczby połączyć w pary takie, że suma liczb każdej pary wynosi 0,0099. Takich par będzie 50. Suma wszystkich liczb wyniesie więc 50 razy 0,0099, czyli 0,49.5. Wynik ten przytoczyliśmy w rozdziale 12,

Postęp geometryczny jest to ciąg liczb, z których każda powstaje w -wyniku pomnożenia liczby poprzedniej przez stałą liczbę, <np. 1, 2, 4, 13    3

8, 16, ... albo 3, 1—,    —, ... Takie ciągi liczb

Z 4 o

można otrzymać w różny sposób.

Dobrze znane jest następujące zadanie: w jakiej chwili pomiędzy godziną 3 a 4 wskazówka minutowa znajdzie się nad wskazówką godzinową? Najprostsze jest następujące rozumowanie. O godzinie 3 wskazówka minutowa jest o 15 minut za wskazówką godzinową; wskazówka godzinowa posuwa się pomału, więc w ciągu 15 minut wskazówka minutowa znacznie dogoni godzinową. Wskazówka godzinowa przesuwa się o 5 minut w ciągu każdej godziny, a więc posuwa się dwanaście razy wolniej niż wskazówka minutowa. Od godziny 3 do 3¹⁵ wskazówka

15

godzinowa przesunęła się o ~ minuty — jest to

wielkość jakiej brakuje jeszcze wskazówce -minutowej, aby dogonić wskazówkę godzinową. Wskazówka minutowa osiągnie to położenie po ,15

następnych minuty. Ale w tym samym czasie wskazówka godzinowa przesunie się o dal-15

sze minuty. W ten sposób wciąż korygujemy

nasze pierwsze przybliżenie (15 minut) dodając 15    15

doń kolejno    itd.; każda poprawka jest

dwanaście .razy mniejsza od poprzedniej. W ten

15    15

sposób otrzymujemy jako wynik: 15-f—

269