331 [1024x768]

340 ELEKTROCHEMIA zatem

równanie JL. ^ Poi-ssona r² dr

(5.40)

Otrzymaliśmy w ten sposób równanie Poissona, wiążące potencjał elektryczny pola y> z rozkładem gęstości ładunku w chmurze jonowej q.

W celu znalezienia zależności gęstości ładunku od promienia chmury r (czyli od odległości od jonu centralnego), załóżmy, że rozpatrywanym jonem jest kation o ładunku z+ e; zgodnie z modelem Debye’a-HUckela w jego otoczeniu istnieje pewien obszar, w którym obserwuje się nadmiar jonów przeciwnego znaku. Jony tej chmury znajdują się oczywiście w bezustannym ruchu termicznym. Ponieważ energia /-ego jonu o ładunku e z_{ w polu potencjału wynosi e Zj • rp, zatem liczba jonów znajdujących się w odległości r od jonu centralnego dana będzie równaniem Boltzmanna (2.16):

(541)

/*<(/•) = rtj • c~^eii*^lkT

gdzie n_t oznacza liczbę jonów „/” w 1 cm³ roztworu. Gęstość ładunku w odległości r od jonu centralnego g(r) otrzymamy mnożąc liczbę jonów przez ich ładunek oraz sumując otrzymane iloczyny po wszystkich jonach znajdujących się w kuli o promieniu r:

Występującą w tym równaniu sumę można obliczyć korzystając z rozwinięcia funkcji wykładniczej w szereg Maclaurina (bliższe dane o szeregu Maclaurina można znaleźć w książce H. Pidek-Łopuszańskiej, W. Ślebodzińskiego, K. Urbanika Matematyka dla chemików. PWN, Warszawa 1958).

W naszym przypadku x =    .

Wiadomo, że jeżeli x 4 1, to rozwinięcie można ograniczyć do dwóch pierwszych wyrazów. Takie postępowanie oznacza jednak, że energia oddziaływania jonu o ładunku e z, z polem o potencjale y jest mniejsza od energii termicznej kT, a to z kolei ograniczy zakres stosowalności teorii Debye’a-Hiic-kela tylko do rozcieńczonych roztworów.

Tak więc: