4 (581)

57

2.1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo

2.1.3. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa

Za twórców nowoczesnej szkoły rachunku prawdopodobieństwa uważani są dwaj matematycy rosyjscy: Bernstein i Kołmogorow. Zgodnie z koncepcją Koł-mogorowa fundamentem rachunku prawdopodobieństwa jest system następujących aksjomatów:

Aksjomat I. Każdemu zdarzeniu A przyporządkowana jest określona liczba P(A), zwana prawdopodobieństwem zdarzenia A, spełniająca warunek

0^P(zl) ^ 1.

Aksjomat II. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego równa się jedności

P(U) = l.

Aksjomat III. Prawdopodobieństwo sumy przeliczalnej liczby zdarzeń, parami wykluczających się, równa się sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń

wmmmsmmrn

Funkcję P(A), określoną w dziedzinie zdarzeń i spełniającą wszystkie trzy wymienione aksjomaty, nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A.

2.1.4. Podstawowe własności prawdopodobieństwa

Własność 1. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego równa się zeru. Dowód. Z uwagi na to, że.

U= U+0,

na podstawie aksjomatu III możemy napisać

P(U)^P(U) + P(-&)r Z aksjomatu II wynika jednak, że ~

Własność 2. Suma prawdopouoDiensiw zuarzeu przeciwnycn równa się jeanosci. Dowód. Z definicji zdarzeń przeciwnych wynika, że_

zatem

A -f A = U,

stąd

P(A)~+P(A)= 1.

Własność 3. Dla dowolnych zdarzeń A oraz B

P (A u B) = P (A) + P(B)-P (A n B).

(2.1.2)

(2.1.3)