3226794663

Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (Kołmogorowa)

Niecłi zdarzenia losowe A, B zawierają się w Cl (skończonym zbiorze zdarzeń elementarnych cj . Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję P. która każdemu zdarzeniu A przyporządkowuje liczbę P(A) zwaną prawdopodobieństwem zdarzenia A i spełniającą poniższe warunki (aksjomaty):

1) 0 < P(A) < 1 (prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A)

2) P(£l) = 1 (prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego )

3) P( A u B) = P( A) + P( B) jeżeli A n B = 0 (prawdopodobieństwo zdarzeń rozłącznych /

/ wykluczających się)

Uogólniona definicja prawdopodobieństwa

P(A) - Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest równe sumie prawdopodobieństw wszystkich zdarzeń elementarnych ei (e, € A) sprzyjających zdarzeniu A (definicje stosujemy gdy w doświadczeniu losowym nie wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne).

3. WŁAŚCIWOŚCI PRAWDOPODOBIEŃSTWA:

Dla każdych zdarzeń losowych A. B, C c Cl jest:

1) 0 < P(A) < 1 (prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A)

2) P(0) = 0 a P(£l) = 1 (prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego i pewnego)

3) jeżeli AcB to P(A)<P(B) a 1

4) P( A j = I - P( A) dla A u A' = Cl a

5) P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B)

6) P(AuB)< P(A) + P(B)

7) P(A \ B) = P(A) - P( A n B)

Przykładowo wyprowadzanie zależności:

P(A u B)- P(B) = P(A) - P(A n B) = P(A n Bj = P (A \ B)

P(A) = P [ (A \ B) u (A n B) ] = P(A \ B) + P(A n B) => P(A \ B) = P(A)- P(A n B)

oraz.

P(A uBuC)-P(B) = P(A) + P(B) łP(C)-P(AnB)-P(AnC)-P(BnC) + P(AnBnC) P(Ai u A> u ... u A_n)-P(B)<P(A,)+P(A₂) + ... + P(A_n)

Relacje wybranych zdarzeń ( dla A,B,Ce fl):

Ja uB = q | A n B = 0

A n B = 0 A = B AcB A u B

A'uB'

A n B ^ nB'

A\B = AnB^/

(A\B) u (B\A)

zdarzenie losowe A Naszło zdarzenie A)

zdarzenie przeciwne do A (niezaszło zdaizenie A): A' = ft-A

zdarzenia przeciwne - zdarzenia te tworzą tak zwany układ zupełny zdarzeń (dopełniające się zdarzenie A i B, które nie mogą zajść jednocześnie)

zdarzenia rodączne/ wykluczające się (zdarzenie A i B nie mogązajść jednocześnie) równość / równoważność zdarzeń A i B (A zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi B) zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B (z zajścia A wynika zajście B) suma zdarzeń (zaszło A lub B lub A i B) -> (zaszło co najmniej jedno ze zdarzeń) suma zdarzeń przeciwnych (me zaszło A lub nie zaszło B): A'uB' =(AnB)' iloczyn zdarzeń (zaszło A i zaszło B)

iloczyn zdarzeń przeciwnych (nie zaszło A i nie zaszło B): A'nB' = (AuB)'

różnica zdarzeń (zaszło A i nie zaszło B): AnB^/=B^/nA=A-B

różnica symetryczna zdarzeń (zaszło tylko A lub zaszło tylko B): (A n B0u(B'nA)

Własności obowiązujące na zbiorach możemy odnieść również do rachunku zdarzeń, np.: A-B = A-(AnB) = AnB^/ a (A n B) - C = (A - C) n (B - C)

A n (B u C) = (A n C) u (B n C) a A u (B n C) = (A u C) n (B u C)

prawa de Morgana: (AuB)¹=A'nB' a (AnB)^/=.A^/uB^/

w w w. malenia tyka.s osnowiec.pl