CCF20090321063

roczna wygrana Piotra, jaką mu przynosi jego taktyka podnoszenia stawki, nie przekracza jednej tysięcznej jego kapitału, kapitału, który musi on stale mieć w pogotowiu, aby móc kontynuować swą taktykę. Jeśli pominąć znaczne straty związane z zamrożeniem kapitału, trzeba uznać, że gra jest dla Piotra korzystna; byłaby jeszcze bardziej korzystna, gdyby stosunek jego kapitału do stawki był tysiąckrotnie większy, co pozwoliłoby Piotrowi podnieść maksymalną liczbę rzutów w partii do 40. Prawdopodobieństwo przegranej byłoby wówczas tak znikome, że można by go było w ogóle nie brać pod uwagę; Piotr mógłby, praktycznie biorąc, być absolutnie pewien regularnych zysków, zwłaszcza jeśli wziąć pod uwagę ograniczoną długość życia ludzkiego.

Skądinąd jest rzeczą zgoła oczywistą, że gdyby ująć zagadnienie z matematycznego punktu widzenia, jak to czyni J. Bertrand, tj. założyć, że spadkobiercy Piotra i Pawła mogą kontynuować grę w ciągu dowolnie wielu stuleci, to trudno nie zgodzić się, że w końcu nadejdzie dzień, kiedy Paweł odegra się i że gra będzie sprawiedliwa, bez względu na to, jak wielka byłaby liczba n rzutów w pojedynczej partii, ustalona raz na zawsze jako nieprzekraczalna granica.

(60) przypadek, gdy maksymalna liczba rzutÓM

nie jest określona

Ujmując zagadnienie z punktu widzenia, jaki przyjął Bertrand w swej rozprawie o paradoksie petersburskim, abstrahuje się oczywiście od faktu, iż fundusze obu graczy są ograniczone i że ograniczona jest długość ich życia. Rozważa się wówczas abstrakcyjnych graczy, którzy grają o abstrakcyjne pieniądze, a zyski i straty są jedynie wciągane do księgi bilansowej, również abstrakcyjnej gdyż musiałaby ona w niektórych przy-130

padkach przewyższać rozmiarami cały znany nam Wszechświat, aby można było zapisać hiperastro-nomiczne liczby wyrażające zadłużenia graczy.

Oczywiście, matematykom wolno roztrząsać takie abstrakcyjne problemy, a historia nauki wskazuje, że rozważania pozbawione na pozór jakiegokolwiek związku z rzeczywistością bywają niekiedy bardzo użyteczne dla rozwoju nauki i jej praktycznych zastosowań.

Załóżmy więc, że maksymalna liczba rzutów w partii nie jest wyznaczona, a Piotr zachowuje prawo przerwania gry w dowolnej chwili i dyktowania stawek według swego uznania; może więc . zastosować strategię petersburską i kontynuować partię aż do pierwszego rzutu wygranego.

Można by się pokusić o rozumowanie następujące: widzieliśmy, że dodatnie nadzieje matematyczne Piotra i Pawła, które oznaczyliśmy odpowiednio przez E i E', są obie równe n, niezależnie zresztą od wartości n; toteż różnica E — E' jest równa zeru, a zatem gra jest „uczciwa”. A że tak rzecz się ma przy jakiejkolwiek wartości n, przeto powyższe pozostaje prawdą i wtedy, gdy n rośnie nieskończenie; toteż granica, do której dąży różnica E — E\ gdy n dąży do nieskończoności, jest równa zeru; a zatem gra mimo tej zmiany warunków pozostaje „uczciwa”; nadzieja matematyczna każdego z graczy nadal równa się zeru.

Rozumowanie takie jest błędne; na czym polega błąd, zrozumiemy, jeśli skierujemy uwagę na operacje rachunkowe, za pomocą których otrzymaliśmy wartości E i E'. E jest to suma n nadziei matematycznych, z których każda równa się jedności. Gdy n wzrasta, liczba składników sumy zwiększa się, a każdy składnik pozostaje równy jedności. Suma ta rośnie zatem nieograniczenie, tzn. należy ją uznać za nieskończoną przy nieskończonym n, co sprowadza się do stwierdzenia, że przy odpowiednio dużej wartości n suma ta może być dowolnie wielka.

9*

131