7036000143

2. Równania różniczkowe pierwszego rzędu

2.1. Równanie o zmiennych rozdzielonych

Def. 74    ,    „

Równanie postaci — = —— (albo równoważnie - h(\}d\=f(x)dx) nazywamy dx g(y)

r. r. o zmiennych rozdzielonych

Rozwiązanie otrzymamy całkując obie strony równania

jg(y)dy = jf(x)dx+C

Tw. 60 Jeżeli f(x) ciągła w przedziale (a, bj a g(x) ciągła w przedziale (c, d) i różna od zera, to powyższy wzór przedstawia całkę ogólną r.r. o stałych rozdzielonych. Ponadto przez każdy punkt tego prostokąta przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa, którą można wyznaczyć ze wzoru j _ J f^jt

?«    »o

Przykład

Rozwiązać równanie v'=e^ycos2x przy warunku początkowym y(0)=0 Mamy f{x)=cos2x, g(y)=e^v    Rozdzielamy zmienne e^ydy-cos2xdx

Całka szczególna przy warunku je‘dt = jcos2/ć/f ' sin-/

e -

początkowym y(0)=0

_Y , sin2x    , sin2A'

=> e -1 =-=> y = ln 1 +-

sin 9 v

Inny sposób obliczenia całki szczególnej: znajdujemy całkę ogólną e^y =^:-+ C

i wyznaczamy stałą C z war. pocz.: o sin 2 0

e =

sin 2 v    (

+ C=>1=0 + C=>C = 1=>*^V=--- + 1=> y = ln 1 -ł-

sin 2x