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70 A. SchinuU

De nombreux travaux <le Sierpiński portent sur Ies nombres premiera. Dang [589] il a donnć une formule, sourent citće, pour le n*i£me nombre premier

oo

p_R= E10*V-10** 'E10*" a, oii a=Vpf 10'**.

(Une formule pareille a ńtć trouveepresque simultanćment parT. Ilanp[I]).

Dans [584], [649], [672] il a ńtudie la formo du dńveloppement decimal des nombres premiera e( il a dćmontrć ([619]) que pour tout systbme de ł-4-I chiffres b_lt ...,b_k+,_f oii 6, * 0 et (6_łfł, 10)    1, il existe un nombre

premier dont lc dńveloppement dńcimal commonce par b_lt...,b_k et se tcrmine par 6_ł+ł,..., b_k+l. Dans [672] il a considńrń la somme 8_% des chiffres du n-tóme nombre premier et posń la ąuestiou si pour une infinitć de » on a:    ce qui, en effet, a ńtć dćraontrń par I*. Erdos [VI].

Sierpiński s’oceupait aussi des diffćrences entre les nombres premiera consńcutifs d_a = p„₊₁—p„ ([534], [574], [623]) et il a dćmontrć dans [594] que

lim min(<f,,, d_nł,) ■■ oo .

n-oo

Ce rćsultat a ćtń gńnńralisń par I*. Erdos [VI] eomme il suit lim min(<f_a, d_a+x,..., rf_a+r) ■ oo (r arbitraire)

et aml-liorc d’unc autre faęon par A. Walfisz [XX] et K. Prachar [XIII].

Sierpiński s’intćressait toujours au th£or£me de Dirichlct sur les progressions arithmetiques [121], [688], [695] et a la conjeeture qui j»ć-nćralise ce thńoróme aux polynómes de degrń supńrieur a 1. De cette conjeeture ([642]), qui n’cst pas encore dómontreo, il a deduit de nom-breuses eonsńquences ([676], [683], [691], [699], [709], [712], [713], [714]. Dans [697] il dńmontra que pour tout k il existe un « tel que est un nombre premier pour plus que k valeurs enfi^res de x. II ćtudiait aussi la rćpartition des nombres premiera dans les suites de croissance expo-nontiellc [646], [660], [663], [681], [686], [701] et dans [660] il ddmonlro l’existence d’entiera k tcls que tous les nombres 2*<fc-f-l sont composćs.

Les travaux [654], [700] concernent la rćpartition des nombres dits _nquudratfrci” et [718] celle des puissanccs des nombres premiera.

Les cinq travaux sur les sommes de nombres premiera [587], [650], [657], [670], [690] sc rapprochent dćja de la thćoric additive. Oelle-ci est reprćsentće par les notes sur les sommes de canto, dc enbes et do nombres triaiipulaires [551], [634], [641], [651], [658], [666], [680] = [694], [710], sur la dćcomposition des nombres rationnels en fractions primaires [633], [705] — [708] et sur des problćmes proches [621], [715]. Dans [633] Sierpiński er prima la conjeeture quc pour tout » > 1 l'ćquation est rćsoluble en entiers positifs x, y, s. Cette conjeeture a ćtć rćrifiće par G. Palami et G. Gentile pour tous lea « < 10* [VII]. Dans [018] on cara-etćrise tous lea entiers positifs » tels que tout m < n est la sommc de diviseurs distinets de n. (La mćme caractćrisation a ćtć donnć par B. M. Stewart [XIX]). Les travaux [616], [619], [632], [667] concernent les proprićtćs additives des suites d’cnt.iers en gćnćral.

Le travail [645] (dont se rapproche [653]) porte sur les pointa de cordonnćes entićres, plus prćcisćment sur le nombre dc tels pointa sur la frontićrc d'un domaine (non pas dans son intćricur, ce qui est commun dans la gćomćtrie des nombres).

Cette courte rcvuc montre clairement que 1'intćret de Sierpiński ćtait concentrć plutót sur lea problćmes et les conjcetures que sur la structurc de la thćorie. On trouve dans [74]_b =» [78]_b    [84]^, [85]_b, [105]_b

des listea de problćmes et dans [677] certains commentaires mćtamathć-matiąues. En outre 8ierpiński a publić pluaieura exposćs plus au moins ćlćmentairrs [3]_b, [6]_b, [44]„, [61]_b, [64]_b, [65]_b, [67]_b, [90]*, [98]_b, [10t]_b et une quinzaine de brefs artides dans le joumal polonais pour lea insti-tuteurs „Matematyka” (voir la listę B), dont quclques uns contiennent meme des rćsultats originaui. Enfin, il a ćcrit 13 livres sur la thćorie des nombres: une monographie publićc en polonais en deus parties [3], et [30],, une monographie en anglais [39],, bosće sur la prćcćdcnto mais entićre-ment refaite, un inannuel d’arithmćtique tlićoriquc [22]₀ qui contient un exposć des ćlćments de la thćoric des nombres et neuf livrcs de vulgarisa-tion. Ceux-ci comprennent de petites rnonographies sur les trianglca pytliagorćens [21],, les ćquations diophantiennes [23]₀, les sommes de fractions primaires [25],,, les nombres premiers [31]₀, les nombres triangu-laires [42],, une collection do problćmes non rćsolus [28], et une eoUection d’exercices [38],. Plusieurs d’cux ont ćtć traduits en langues ćtrangćroa (voir la listę C).

OinniRCS dtif

II] T. Bang, Une fotuiion qui reprłsente tous les nombres premiers (Norrćgicn), Norak Mat. Tidmkńft 34 (1932), p. 117-118.

[II] E. Borol, L$$ probabiliUs dtnombrabU* et leurs applieeUions aritkmJtujuee, Rtnd. Cir«. Mat. Palermo 27 (1909). p. 247-271.

(III)    Chen-Jing- Kun, The lattiet pointę tu a eircle, Sc. Sinica 12 (1962), p. 633 6*19.

[IV]    P. Erdtta, On some applications oj Hruns method, Acta Sc. Matli. Sicgod 13 (1949). p. 57-63.

[V] — On a problem oj Sierpiński, Acta Arith. 11 (1965), p. 189-192.