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M. Lindenbaum a donnę d’ailleurs une autre demon-stration du th. 14, independante du theoreme de Schróder-Bernstein et basee directement sur les proprietes des trans-formations univoques (cf. th. 3 du § 2); il a observe d’autre part que celui-ci peut etre deduit du th. 14 comme un cas particulier (en y posant: A_l = C)* D’apres la remarque de

M. Tars ki tout cela s’applique egalement au th. 13.

M. Lindenbaum a encore constate qu’on peut etablir un theoreme (14 bis) correspondant a 14 par dualite (en y rem-plaęant le signe „CI” par    et qui constitue aussi une gćne-

ralisation du theoreme de Schróder-Bernstein. M. Tarski a enfin enonce un theoreme generał dont les theoremes prece-dents (14 et 14 bis) sont des cas particuliers:

15    (7). Lorsque A\ dB C C, A, C C_v A ~ A_l et C ~ C_v il existe un ensemble B_x tel que Ton a: A_x d B_x d C_x et B ~ B_x.

En appliquant 13, on obtient encore d’autres theoremes qui s’y rattachent:

16    (L). Lorsque A d C, A . K A • L et    il

existe un ensemble B tel que Ton a: AdB dC et B. K= B. L

(c.-a-d. B.K~B.L).

17    (7).    Si    m -f- p 8 m -f* q et p q, il    existe    un    nom-

bre Cardinal r    tel    que l’on a: 8 = m -f- r et    p r q.

La probleme des transformations de Tinegalite m-|-p<^ m q conduit ensuite aux theoremes:

18 (7). Lorsque m -f- p    m -f- q et m    q, alors p <! q.

19 (7). Lorsque ni -(- p    m -(- q et q    m, alors p nu

20    (7). Lorsque k.nt-(-p(/:-}-1).ni —q, alors p<! ni-f-q.

Les theoremes 21 — 23 traitent le probleme plus generał, a savoir celui d’etablir les conditions pour que 1’inegalite ni — -f- p it -f- q entraine linegalite p q.

21    (7). Si m p ^ u-f" q et le nombre Cardinal m — n existe, alors on a: p ^ q.

22    (7).    Si    2ⁿ -f- p < n + q, alors on    a: p    q.

23    (7).    a etant un aleph, si a + p<Ib4“q    et b    a,    alors

on a: p < q.