Analiza numeryczna

Ćwiczenia nr 10

Słowa kluczowe:

Aproksymacja, aproksymacja średniokwadratowa

1. Niech X = L

2



[−1, 1],

1

√

1−x

2



, hf, gi =

Z

1

−1

f (x)g(x)

1

√

1 − x

2

dx, u(x) = (x + 1)

3

, V = Π

2

.

Znaleźć element optymalny dla u w V .

2. Weźmy (R

2

, k · k), k(x, y)k = max{|x|, |y|}. Niech F = {(x, y) ∈ R

2

: x = 0}. Znaleźć element

optymalny dla u = (2, 0) w F .

3. Pokazać, że zbiór elementów optymalnych jest wypukły.

4. Pokazać, że funkcjonał ε

V

(f ) = inf

g∈V

kf − gk jest ciągły.

5. Weźmy X, F = Π

1

, hf, gi =

Z

1

−1

f (x)g(x)dx. Znaleźć element optymalny dla u(x) = 2x

2

+ 2

względem Π

1

.

6. Dla dowolnie wybranego wielomianu stopnia 2, ϕ, znaleźć wielomian pierwszego stopnia f taki,

że wykres funkcji (ϕ − f )

2

(x) tworzy z osią Ox na [0, 1] funkcję o najmniejszym polu.

7. Znaleźć przybliżenie f (x) = sin x na [0, π/2] wielomianem stopnia ≤ 2 w aproksymacji śred-

niokwadratowej. Podaj błąd.

8. J.w. tylko baza określona przez wielomiany Lagrange’a.

9. Wykazać, że jeśli p(x) 6= 0, p(x) ≥ 0 dla x ∈ [−1, 1], p(x) = p(−x), to n-ty wielomian

ortogonalny w

n

na [−1, 1] z wagą p(x) spełnia w

n

(x) = (−1)

n

w

n

(−x).

10. Znaleźć optymalny w sensie aproksymacji średniokwadratowej wielomian stopnia ≤ 2 dla

f (x) = x

3

w przedziale [0, 1], gdzie iloczyn skalarny określony jest wzorem hf, gi =

Z

1

0

xf (x)g(x)dx.