Ćwiczenia nr 7
Słowa kluczowe:
Interpolacja, Interpolacja Hermite’a
1. Niech f : [0, π] 3 x− → cos(x) ∈ [−1, 1], x0 = 0, m0 = 2, x1 = α ∈ [0, π], m1 = 1. Budujemy wielomian interpolacyjny Hermite’a H2(x) = H2(x, α). Jak dobrać parametr α, aby oszacowanie reszty f (x) − H2(x) było możliwie najlepsze?
2. Wyznaczyć wielomian interpolacyjny Hermite’a interpolujący funkcję f (x) = x2 + 1 dla węzłów x0 = 0, m0 = 1, x1 = 1, m1 = 1, x2 = 2, m2 = 2.
3. Niech x ∈ R, x1 < . . . < xn. Rozpatrujemy zadanie interpolacyjne (*): znaleźć wielomian H ∈ Πn taki, że H(xi) = yi, i = 1, . . . , n, H0(x0) = y0.
Pokazać, że:
Dla dowolnych y0, . . . , yn ∈ R istnieje dokładnie jedno rozwiązanie (*) wtedy i tylko wtedy, gdy x0 nie jest ekstremum wielomianu g(x) = Πn (x − x
i=1
i).
4. Funkcję f ∈ C3([a, b)], |f (3)(x)| ≤ 1 ∀x ∈ [a, b] przybliżamy funkcją ciągłą p zdefiniowaną w sposób następujący:
przedział [a, b] dzielimy na podprzedziały punktami xi = a+ih, i = 0, . . . , n, gdzie h = (b−a)/n.
W każdym przedziale [xi, xi+1], i = 0, . . . , n − 1 przybliżamy wielomianem interpolacyjnym Lagrange’a wi stopnia co najwyżej 2, opartym na węzłach xi, (xi + xi+1)/2, xi+1. Funkcja p to sklejenie funkcji wi. Wykazać, że
√3
sup |f (x) − p(x)| ≤
h3.
x∈[a,b]
63
5. Udowodnić, że
(a) 4kf (x) = 4k−1f (x + h) − 4k−1f (x),
(b) 4kf (x) = Pk (−1)k−i kf (x + ih),
i=0
i
(c) ∇kf (x) = ∇k−1f (x) − ∇k−1f (x − h),
(d) ∇kf (x) = Pk (−1)k−i kf (x − ih),
i=0
i
(e) δkf (x) = Pk (−1)k−i kf (x + (k/2 − i)h),
i=0
i
gdzie f : R → R, F = {f : R → R}, operatory 4, ∇, δ są określone następująco:
(a) 4 : F 3 f → (x → 4f (x) = f (x + h) − f (x)) ∈ F
40 := id, 4k := 4k−1(4),
(b) ∇ : F 3 f → (x → ∇f (x) = f (x) − f (x − h)) ∈ F
∇0 := id, ∇k := ∇k−1(∇),
(c) δ : F 3 f → (x → δf (x) = f (x + h/2) − f (x − h/2)) ∈ F
δ0 := id, δk := δk−1(δ).