Analiza numeryczna Ćwiczenia nr 8
Słowa kluczowe:
Splajn, splin kubiczny, 1. Skonstruować splajn kubiczny taki, że S(0) = 1, S(1) = 0, S(2) = 2 oraz S00(0) = S00(2) = 0.
2. Wyznaczyć splajn S o własnościach: (a) S(xi) = yi, dla i = 1, . . . , n, x1 < x2 < . . . < xn, (b) S ∈ C(n−1)(R),
(a x < ξ
(c) S(n) =
, dla ξ ∈ {x1, . . . , xn}.
b
x ≥ ξ
3. Niech A ∈ M (n, R) jest macierzą trójdiagonalną symetryczną aii = 4, ai,i+1 = ai+1,i = 1.
Zbadać określoność macierzy A.
4. Niech macierz powstająca przy obliczaniu splajnu kubicznego naturalnego jest postaci
2
λ
0
. .
. .
µ
.
.
A =
1
, λ0 ≤ 1, µn−1 ≤ 1, µi + λi = 1 ∀i, λi, µi > 0.
. .
.
λn−2
µn−1
2
Pokazać, że macierz A ma rzeczywiste wartości własne leżące w przedziale [a, b].
5. Sprawdzić, czy wzór określa funkcję sklejaną stopnia 2
x
x ∈ (−∞, 1)
f (x) =
− 1 (2 − x)2 + 3
x ∈ [1, 2]
.
2
2
3
x ∈ (2, ∞)
2
6. Sprawdzić, dla jakich wartości parametrów a, b, c, d, e
a(x − 2)2 + b(x − 1)3 x ∈ (−∞, 1]
f (x) =
c(x − 1)2
x ∈ (1, 3]
d(x − 2)2 + e(x − 3)3
x ∈ (3, ∞)
jest funkcją sklejaną sześcienną.