Analiza numeryczna Ćwiczenia nr 10

Słowa kluczowe:

Aproksymacja, aproksymacja średniokwadratowa Z

1

1

1. Niech X = L2 [−1, 1],

1

√

, hf, gi =

f (x)g(x) √

dx, u(x) = (x + 1)3, V = Π

1−x2

2.

−1

1 − x2

Znaleźć element optymalny dla u w V .

2. Weźmy ( 2

2

R , k · k), k(x, y)k = max{|x|, |y|}. Niech F = {(x, y) ∈ R

: x = 0}. Znaleźć element

optymalny dla u = (2, 0) w F .

3. Pokazać, że zbiór elementów optymalnych jest wypukły.

4. Pokazać, że funkcjonał εV (f ) = inf kf − gk jest ciągły.

g∈V

Z

1

5. Weźmy X, F = Π1, hf, gi =

f (x)g(x)dx. Znaleźć element optymalny dla u(x) = 2x2 + 2

−1

względem Π1.

6. Dla dowolnie wybranego wielomianu stopnia 2, ϕ, znaleźć wielomian pierwszego stopnia f taki, że wykres funkcji (ϕ − f )2(x) tworzy z osią Ox na [0, 1] funkcję o najmniejszym polu.

7. Znaleźć przybliżenie f (x) = sin x na [0, π/2] wielomianem stopnia ≤ 2 w aproksymacji średniokwadratowej. Podaj błąd.

8. J.w. tylko baza określona przez wielomiany Lagrange’a.

9. Wykazać, że jeśli p(x) 6= 0, p(x) ≥ 0 dla x ∈ [−1, 1], p(x) = p(−x), to n-ty wielomian ortogonalny wn na [−1, 1] z wagą p(x) spełnia wn(x) = (−1)nwn(−x).

10. Znaleźć optymalny w sensie aproksymacji średniokwadratowej wielomian stopnia ≤ 2 dla f (x) = x3 w przedziale [0, 1], gdzie iloczyn skalarny określony jest wzorem hf, gi =

Z

1

xf (x)g(x)dx.

0