Analiza numeryczna

Ćwiczenia nr 12

Słowa kluczowe:

Wielomiany Czebyszewa II-go rodzaju, przestrzeń silnie unormowana

1. Niech u(x) =

1

n+1

T

0

n+1

(x), gdzie T

n

wielomian Czebyszewa I-go rodzaju. Funkcje u(x) są to

wielomiany Czebyszewa II-go rodzaju.

(a) Pokazać, że są to wielomiany ortogonalne na [−1, 1] z wagą

√

1 − x

2

,

(b) Pokazać formułę trójczłonową:

u

0

(x) ≡ 1

u

1

(x) = 2x

u

n+1

(x) = 2xu

n

(x) − u

n−1

(x).

(c) Zbudować wielomian interpolacyjny Lagrange’a stopnia co najwyżej n − 1 oparty na

węzłach będących pierwiastkami wielomianu Czebyszewa II-go rodzaju. Wykazać, że

w

n−1

(x) =

1

n + 1

n

X

k=1

(−1)

n−k

y

k

(1 − x

k

)

2

u

n

(x)

x − x

k

2. Pokazać, T

1

⇔ T

2

⇔ T

3

, gdzie

T

1

: X - przestrzeń silnie unormowana ⇔

def

∀f, g ∈ X, kf k = kgk = 1, jeśli f 6= g, to kf + gk < 2.

T

2

: Norma w X jest ostra ⇔

def

∀f, g ∈ X, jeśli kf + gk = kf k + kgk, g 6= 0, to ∃λ ≥ 0 : f = λg.

T

3

: Sfera {x ∈ X :, kxk = 1} nie zawiera odcinka.