Analiza numeryczna

Ćwiczenia nr 11

Słowa kluczowe:

Aproksymacja jednostajna,

1. Niech f (x) = sin x, p - wielomian stopnia ≤ n na [0, 1] w sensie aproksymacji jednostajnej.

Pokazać, że |f (x) − p(x)| ≤ 1/(n + 1)! dla x ∈ [0, 1].

2. Dla f (x) = 4x

3

− 11x

2

+ 10x znaleźć wielomian stopnia ≤ 2 na [0, 2] optymalny w sensie

aproksymacji jednostajnej.

3. Znaleźć wielomiany stopnia 0 i stopnia 1 optymalne dla f (x) = 1/x w [1, 2] w sensie aproksy-

macji jednostajnej.

4. Znaleźć wielomian optymalny w przestrzeni wielomianów stopnia mniejszego lub równego 1 dla

funkcji f (x) = |x + 1| w sensie normy supremum na odcinku [−2, 2].

5. Znaleźć wielomian optymalny w przestrzeni wielomianów stopnia mniejszego lub równego 2

dla funkcji f (x) = sgn(x)

p|x| w sensie normy supremum na odcinku [−1, 1]. Podaj błąd

aproksymacji.

6. Niech T

n

oznacza n-ty wielomian Czebyszewa I-go rodzaju, n ≥ 1, T

n

(x) = 2

n−1

x

n

+ . . ..

Sprawdzić, że wielomianem optymalnym stopnia ≤ n w przestrzeni C([−1, 1]) z normą supre-
mum dla wielomianu w(x) = x

n+1

− T

n

(x) stopnia n + 1 jest wielomianem h danym przez

h(x) = x

n+1

+

1

2

n

T

n−1

(x) − T

n

(x)



1 +

x

2

n−1



.