Analiza numeryczna

Ćwiczenia nr 5

Słowa kluczowe:

Interpolacja

1. Pokazać, że span{ϕ

0

, . . . , ϕ

n

} = Π

n

, gdzie ϕ

i

(x) -wielomian Lagrange’a dla węzłów x

0

, . . . , x

n

,

parami różnych.

2. Niech ϕ

i

(x) =

Y

j6=i

x − x

j

x

i

− x

j

, x

i

6= x

j

dla i 6= j oraz c

i

= ϕ

i

(0), i = 0, . . . , n.

Udowodnić, że

(a)

n

X

i=0

c

i

x

j
i

=











1,

j = 0

0,

j = 1, . . . , n

(−1)

n

x

0

· . . . · x

n

j = n + 1

(b)

n

X

i=0

ϕ

i

(x) ≡ 1.

3. Mamy węzły {(x

i

, f

i

)}

n
i=0

, gdzie f

i

= f (x

i

) dla pewnej funkcji f . Funkcję f przybliżamy łamaną

s (składa się z odcinków łączących punkty sąsiednie). Pokazać, że

|f (x) − s(x)| ≤











max

x∈[a,b]

|f

0

(x)| · max

i

|x

i+1

− x

i

|,

f ∈ C([a, b]),

1

8

max

x∈[a,b]

|f

00

(x)| · max

i

|x

i+1

− x

i

|

2

,

f ∈ C

2

([a, b]).

4. Niech a = x

0

< x

1

< . . . < x

n

= n, h = max

i

|x

i+1

− x

i

|, w(x) =

n

Y

i=0

(x − x

i

). Pokazać, że

|w(x)| ≤

1

4

n!h

n+1

, dla x ∈ [a, b].

5. Niech a = x

0

< x

1

< . . . < x

n

= b, ¯

h = max

i

|x

i+1

− x

i

|, h = min

i

|x

i+1

− x

i

|, oraz niech

ϕ

i

(x) =

Y

j6=i

x − x

j

x

i

− x

j

. Pokazać, że |ϕ

i

(x)| ≤

n

i

 

¯

h

h



n

dla każdego x ∈ [a, b].