Analiza numeryczna Ćwiczenia nr 6
Słowa kluczowe:
Interpolacja, wielomiany Czebyszewa 1. Wykazać NP algorytmu Hornera obliczania wartości wielomianu w punkcie.
2. Niech x0, . . . , xn węzły parami różne. Wiemy, że ∃! P ∈ Πn : P (xi) = fi, dla i = 0, . . . , n.
k−1
Y
Ponieważ {Pk(x)}n , gdzie P
(x − x
k=0
0(x) ≡ 1, Pk (x) =
i) jest ciągiem wielomianów liniowo i=0
niezależnych, więc Π
n+1
n = span{P0, . . . , Pn}. Zatem ∃! (α0, . . . , αn) ∈ R
taki, że P (x) =
n
X αkPk(x). Pokazać, że
k=0
1 x0 · · ·
xn−1
f
0
0
.
.
.
.
det ..
..
..
..
1 xn · · ·
xn−1 f
n
n
αn =
1 x0 · · ·
xn0
.
.
.
det ..
..
..
1 xn · · ·
xnn
.
3. Napisać wielomian w postaci Newtona dla węzłów (0, 1), (2, −1), (3, 1), (4, 1), (5, 2).
4. Z jaką dokładnością można obliczyć wartość ln(100.5) przy użyciu wzoru interpolacyjnego, mając dane wartości ln(100), ln(101), ln(102) oraz ln(103)?
5. Niech Tk(x) = cos(k arc cos x), |x| ≤ 1. Wykazać, że 1 h
√
√
i
Tk(x) =
(x +
x2 − 1)k + (x −
x2 − 1)k ,
k = 0, 1, . . . ,
x ∈ R.
2
6. a) Wyznaczyć zera Tk, b) Wyznaczyć ekstrema Tk,
√
c) Wykazać ortogonalność {Tk}∞ z wagą 1/ 1 − x2, k=0
d) wyznaczyć współczynnik przy najwyższej potędze x.
7. Wykazać następującą formułę trójczłonową dla Tk.
T0(x) ≡ 1, T1(x) = x, Tk(x) = 2xTk−1(x) − Tk−2(x).