Analiza numeryczna Ćwiczenia nr 9

Słowa kluczowe: Interpolacja trygonometryczna n

a0

X

1. Niech xk = 2kπ , k = 0, . . . , 2n. Wiemy, że t

+

(a

2n+1

2n(x) =

k cos kx + bk sin kx). Pokazać, 2

k=1

że jeśli yk = t2n(xk) ∈ R dla k = 0, . . . , 2n, to wszystkie współczynniki ak, bk, a0 są rzeczywiste.

2n

Y

x − xk

2. Pokazać, że dla x1, . . . , x2n ∈ R funkcja t(x) =

sin

jest wielomianem trygonome-2

j=1

n

a0

X

trycznym postaci

+

(aj cos jx + bj sin jx) z rzeczywistymi aj, bj.

2

j=1

3. Niech x0, . . . , x2n - węzły interpolacji. Pokazać, że wielomian interpolacyjny n

a

X

t(x) =

0 +

(ak cos kx + bk sin kx) interpolujący funkcję f da się przedstawić w postaci 2

k=1

2n

2n

X

Y

sin x−xj

T (x) =

y

2

k tk (x), gdzie yk = f (xk ), k = 0, . . . , 2n, oraz t(x) =

.

sin xk−xj

k=0

j=0,j6=k

2

4. Niech xk = 2kπ , y 3

k = k2, k = 0, 1, 2. Wyznaczyć trygonometryczny wielomian interpolacyjny.