Analiza numeryczna Ćwiczenia nr 11

Słowa kluczowe:

Aproksymacja jednostajna, 1. Niech f (x) = sin x, p - wielomian stopnia ≤ n na [0, 1] w sensie aproksymacji jednostajnej.

Pokazać, że |f (x) − p(x)| ≤ 1/(n + 1)! dla x ∈ [0, 1].

2. Dla f (x) = 4x3 − 11x2 + 10x znaleźć wielomian stopnia ≤ 2 na [0, 2] optymalny w sensie aproksymacji jednostajnej.

3. Znaleźć wielomiany stopnia 0 i stopnia 1 optymalne dla f (x) = 1/x w [1, 2] w sensie aproksymacji jednostajnej.

4. Znaleźć wielomian optymalny w przestrzeni wielomianów stopnia mniejszego lub równego 1 dla funkcji f (x) = |x + 1| w sensie normy supremum na odcinku [−2, 2].

5. Znaleźć wielomian optymalny w przestrzeni wielomianów stopnia mniejszego lub równego 2

dla funkcji f (x) = sgn(x)p|x| w sensie normy supremum na odcinku [−1, 1]. Podaj błąd aproksymacji.

6. Niech Tn oznacza n-ty wielomian Czebyszewa I-go rodzaju, n ≥ 1, Tn(x) = 2n−1xn + . . ..

Sprawdzić, że wielomianem optymalnym stopnia ≤ n w przestrzeni C([−1, 1]) z normą supremum dla wielomianu w(x) = xn+1 − Tn(x) stopnia n + 1 jest wielomianem h danym przez 1

x

h(x) = xn+1 +

Tn−1(x) − Tn(x) 1 +

.

2n

2n−1