zestaw 24 ALzG

background image

Šukasz Czech

7 maja 2013 r.

Algebra liniowa z geometri¡  zestaw nr 24

Zadanie 1 Udowodni¢, »e dla v, w ∈ R

n

zachodzi:

a) v ⊥ w ⇔ kv + wk

2

= kvk

2

+ kwk

2

;

b) (v + w) ⊥ (v − w) ⇔ kvk = kwk.

Zadanie 2 Udowodni¢, »e je»eli v

1

, . . . , v

n

∈ R

n

i ∀

i

kv

i

k = 1

oraz kv

i

− v

j

k =

2

dla

i 6= j

, to v

1

, . . . , v

n

tworz¡ baz¦ ortonormaln¡.

Zadanie 3 Znale¹¢ dopeªnienie ortogonalne przestrzeni:

a) U ⊂ R

3

, U = lin((1, 0, 1));

b) U ⊂ R

5

, U = lin((1, 1, −1, 2, 1), (2, 1, 1, −1, 1), (−1, 1, 1, 1, 1));

c) U ⊂ R

4

, U = lin((0, 1, 1, 1), (−1, 1, 0, −1)).

Zadanie 4 Znale¹¢ bazy ortonormalne przestrzeni oraz wspóªrz¦dne podanych wektorów

w tych bazach:

a) U = lin((1, −1, 2), (0, 1, 2), (−1, 2, 1)), v = (−1, 4, 6);

b) U = {(x, y, z, t) ∈ R

4

: x + y + z = 0, y = t}

, v = (−1, 3, −2, 3);

c) U = {(2x + y + 5z, y + z, 2y − x, x + 2z)}, v = (6, 4, 7, 1);

Zadanie 5 Niech A =

1 −4 −8

−4

7 −4

−8 −4

1

oraz B =

5 2 −1
2 2

2

−1 2

5

b¦d¡ macierzami od-

wzorowa« liniowych f, g : R

3

→ R

3

. Znale¹¢ ortonormaln¡ baz¦ zªo»on¡ z wektorów wªas-

nych macierzy A. Wyznaczy¢ ortogonaln¡ macierz P tak¡, »e P

T

BP

jest macierz¡ diago-

naln¡.

Zadanie 6 Dana jest forma kwadratowa:

a) g(x) = 4x

2

− 4xy − 8xz + 2yz + y

2

− 3z

2

,

b) g(x) = 2x

2

− 6xy + 4xz − 2yz + 4y

2

− z

2

.

Sprowadzi¢ form¦ g do postaci kanonicznej metod¡:

a) przeksztaªce« ortogonalnych,

b) Lagrange'a,

c) Jacobiego.

background image

Zadanie 7 Niech f : R

3

× R

3

→ R b¦dzie form¡ dwuliniow¡ przyjmuj¡c¡ dla dowolnych

x = (x

1

, x

2

, x

3

)

, y = (y

1

, y

2

, y

3

)

warto±¢ f(x, y) = x

1

y

1

− x

2

y

2

+ x

3

y

3

+ 3x

1

y

3

+ x

3

y

1

.

a) Wyznaczy¢ form¦ kwadratow¡ g : R

3

→ R generowan¡ przez form¦ f oraz macierz A

formy g w bazie kanonicznej B

k

.

b) Metod¡ przeksztaªce« ortogonalnych znale¹¢ ortonormaln¡ baz¦ B

O

, w której forma

kwadratowa g ma posta¢ kanoniczn¡.

c) Sprowadzi¢ form¦ g do postaci kanonicznej metod¡ Lagrange'a.

Zadanie 8 Niech f : R

4

× R

4

→ R b¦dzie form¡ dwuliniow¡ przyjmuj¡c¡ dla dowolnych

x = (x

1

, x

2

, x

3

, x

4

)

, y = (y

1

, y

2

, y

3

, y

4

)

warto±¢:

f (x, y) =

4

X

i,j=1

x

i

y

j

=

4

X

i=1

4

X

j=1

x

i

y

j

!!

.

a) Wyznaczy¢ form¦ kwadratow¡ g : R

4

→ R generowan¡ przez form¦ f oraz macierz A

formy g w bazie kanonicznej B

k

.

b) Metod¡ przeksztaªce« ortogonalnych znale¹¢ ortonormaln¡ baz¦ B

O

, w której forma

kwadratowa g ma posta¢ kanoniczn¡.

c) Poda¢ macierz tej formy kwadratowej w wyznaczonej bazie B

O

i przy jej pomocy

wyznaczy¢ g(1, 1, 1, 1).

Zadanie 9 Dana jest macierz A =

1

2

1

2 −2 −2
1 −2

1

.

a) Znale¹¢ ortogonaln¡ macierz P i diagonaln¡ D tak¡, »e D = P

T

AP

.

b) Form¦ kwadratow¡ f(x) = X

T

AX

sprowadzi¢ do postaci kanonicznej metod¡ La-

grange'a.

Zadanie 10 Zbada¢, jak s¡ okre±lone poni»sze formy kwadratowe:

a) f(x

1

, x

2

, x

3

) = x

2

1

+ 2x

2

2

+ x

2

3

;

b) f(x

1

, x

2

, x

3

) = x

2

1

− 4x

1

x

2

+ 4x

1

x

3

− 4x

2

3

;

c) f(x

1

, x

2

, x

3

) = x

2

1

+ 4x

1

x

2

+ 10x

1

x

3

+ 2x

2

x

3

+ 5x

2

2

+ 2x

2

3

.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
zestaw 24 ALzG
zestaw 10 ALzG
zestaw 18 ALzG
21-40 - Notatki, Zestaw 24
zestaw24 02, Zestaw 24
zestaw 26 ALzG
zestaw 28 ALzG
zestaw 22 ALzG
zestaw 20 ALzG
zestaw 10 ALzG
zestaw 17 ALzG
zestaw 12 ALzG
zestaw 22 ALzG
zestaw 28 ALzG
zestawy maturalne, ZESTAW 24, ZESTAW 24
zestaw 11 ALzG
zestaw 19 ALzG
zestaw 26 ALzG
zestaw 25 ALzG

więcej podobnych podstron