Šukasz Czech

7 maja 2013 r.

Algebra liniowa z geometri¡ zestaw nr 24

Zadanie 1 Udowodni¢, »e dla v, w ∈ R

n

zachodzi:

a) v ⊥ w ⇔ kv + wk

2

= kvk

2

+ kwk

2

;

b) (v + w) ⊥ (v − w) ⇔ kvk = kwk.

Zadanie 2 Udowodni¢, »e je»eli v

1

, . . . , v

n

∈ R

n

i ∀

i

kv

i

k = 1

oraz kv

i

− v

j

k =

√

2

dla

i 6= j

, to v

1

, . . . , v

n

tworz¡ baz¦ ortonormaln¡.

Zadanie 3 Znale¹¢ dopeªnienie ortogonalne przestrzeni:

a) U ⊂ R

3

, U = lin((1, 0, 1));

b) U ⊂ R

5

, U = lin((1, 1, −1, 2, 1), (2, 1, 1, −1, 1), (−1, 1, 1, 1, 1));

c) U ⊂ R

4

, U = lin((0, 1, 1, 1), (−1, 1, 0, −1)).

Zadanie 4 Znale¹¢ bazy ortonormalne przestrzeni oraz wspóªrz¦dne podanych wektorów

w tych bazach:

a) U = lin((1, −1, 2), (0, 1, 2), (−1, 2, 1)), v = (−1, 4, 6);

b) U = {(x, y, z, t) ∈ R

4

: x + y + z = 0, y = t}

, v = (−1, 3, −2, 3);

c) U = {(2x + y + 5z, y + z, 2y − x, x + 2z)}, v = (6, 4, 7, 1);

Zadanie 5 Niech A =





1 −4 −8

−4

7 −4

−8 −4

1





oraz B =





5 2 −1
2 2

2

−1 2

5





b¦d¡ macierzami od-

wzorowa« liniowych f, g : R

3

→ R

3

. Znale¹¢ ortonormaln¡ baz¦ zªo»on¡ z wektorów wªas-

nych macierzy A. Wyznaczy¢ ortogonaln¡ macierz P tak¡, »e P

T

BP

jest macierz¡ diago-

naln¡.

Zadanie 6 Dana jest forma kwadratowa:

a) g(x) = 4x

2

− 4xy − 8xz + 2yz + y

2

− 3z

2

,

b) g(x) = 2x

2

− 6xy + 4xz − 2yz + 4y

2

− z

2

.

Sprowadzi¢ form¦ g do postaci kanonicznej metod¡:

a) przeksztaªce« ortogonalnych,

b) Lagrange'a,

c) Jacobiego.

Zadanie 7 Niech f : R

3

× R

3

→ R b¦dzie form¡ dwuliniow¡ przyjmuj¡c¡ dla dowolnych

x = (x

1

, x

2

, x

3

)

, y = (y

1

, y

2

, y

3

)

warto±¢ f(x, y) = x

1

y

1

− x

2

y

2

+ x

3

y

3

+ 3x

1

y

3

+ x

3

y

1

.

a) Wyznaczy¢ form¦ kwadratow¡ g : R

3

→ R generowan¡ przez form¦ f oraz macierz A

formy g w bazie kanonicznej B

k

.

b) Metod¡ przeksztaªce« ortogonalnych znale¹¢ ortonormaln¡ baz¦ B

O

, w której forma

kwadratowa g ma posta¢ kanoniczn¡.

c) Sprowadzi¢ form¦ g do postaci kanonicznej metod¡ Lagrange'a.

Zadanie 8 Niech f : R

4

× R

4

→ R b¦dzie form¡ dwuliniow¡ przyjmuj¡c¡ dla dowolnych

x = (x

1

, x

2

, x

3

, x

4

)

, y = (y

1

, y

2

, y

3

, y

4

)

warto±¢:

f (x, y) =

4

X

i,j=1

x

i

y

j

=

4

X

i=1

4

X

j=1

x

i

y

j

!!

.

a) Wyznaczy¢ form¦ kwadratow¡ g : R

4

→ R generowan¡ przez form¦ f oraz macierz A

formy g w bazie kanonicznej B

k

.

b) Metod¡ przeksztaªce« ortogonalnych znale¹¢ ortonormaln¡ baz¦ B

O

, w której forma

kwadratowa g ma posta¢ kanoniczn¡.

c) Poda¢ macierz tej formy kwadratowej w wyznaczonej bazie B

O

i przy jej pomocy

wyznaczy¢ g(1, 1, 1, 1).

Zadanie 9 Dana jest macierz A =





1

2

1

2 −2 −2
1 −2

1





.

a) Znale¹¢ ortogonaln¡ macierz P i diagonaln¡ D tak¡, »e D = P

T

AP

.

b) Form¦ kwadratow¡ f(x) = X

T

AX

sprowadzi¢ do postaci kanonicznej metod¡ La-

grange'a.

Zadanie 10 Zbada¢, jak s¡ okre±lone poni»sze formy kwadratowe:

a) f(x

1

, x

2

, x

3

) = x

2

1

+ 2x

2

2

+ x

2

3

;

b) f(x

1

, x

2

, x

3

) = x

2

1

− 4x

1

x

2

+ 4x

1

x

3

− 4x

2

3

;

c) f(x

1

, x

2

, x

3

) = x

2

1

+ 4x

1

x

2

+ 10x

1

x

3

+ 2x

2

x

3

+ 5x

2

2

+ 2x

2

3

.