Tomasz Kowalski

Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych

Wykład 10

ASYMPTOTY WYKRESU FUNKCJI – lista zadań

1. Obliczyć granice jednostronne podanej funkcji w punktach nie należących do dziedziny, a następnie
wyznaczyć równania asymptot pionowych wykresu tej funkcji:

a)

1

2

)

(

2

2







x

x

x

x

f

, b)

2

2

)

(

2

2









x

x

x

x

x

f

, c)

x

e

x

f

1

)

(



.

2. Obliczyć granice:

a)

3

2

1

2

lim

x

x

x







, b)

x

x

x

x

x

x













2

3

2

3

5

3

3

lim

, c)

1

4

2

lim

2









x

x

x

x

, d)

2

2

lim

4

1

x

x

x

x







, e)

3

5

4

ln

lim

2

2











x

x

x

x

.

3. Obliczyć granice funkcji w punktach niewłaściwych, a następnie wyznaczyć równania asymptot
poziomych wykresu tej funkcji:

a)

1

2

3

)

(

2

2







x

x

x

x

f

, b)

x

e

x

f

1

)

(



, c)

1

1

)

(





x

e

x

f

, d)

2

3

arctg

)

(





x

x

x

f

.

4. Obliczyć granice:

a)

4

3

4

2

lim

2













x

x

x

x

, b)

, c)

x

x

x

e

3

2

lim







3

2

lim









x

x

x

e

, d)

3

1

4

ln

lim

2









x

x

x

.

5. Wyznaczyć równania asymptot ukośnych krzywej o równaniu

)

(x

f

y



:

a)

2

2

3

)

(

2







x

x

x

x

f

, b)

4

2

)

(

2

2

3







x

x

x

x

f

.

6. Wyznaczyć równania wszystkich asymptot funkcji:

a)

x

x

x

x

x

f

2

2

)

(

2

3







, b)

2

1

)

(

x

e

x

f





, c)

, d)

)

1

ln(

)

(





x

e

x

f

x

x

x

f

3

arctg

2

)

(





, e)

2

1

( )

x

x

f x

e





.

Asymptoty wykresu funkcji – lista zadań

2

Odpowiedzi

1. a)

2

2

1

2

lim

1

x

x

x

x







 



,

2

2

1

2

lim

1

x

x

x

x







 



,

2

2

1

2

lim

1

x

x

x

x







 



,

2

2

1

2

lim

1

x

x

x

x







 



.

Wy

1

,

1







x

x

.

kres funkcji ma asymptoty pionowe:

b)

2

2

2

x

x



2

2

lim

3

2

x

x

x







 

,

2

2

x

x



2

2

lim

3

2

x

x

x





2



 

,

2

2

1

2

2

1

2

lim

2

x

x

x

x

x







 

 

2

lim

2

x

x

x

x

x







 

 

,

.

kres funkcji ma asymptotę pionową

Wy

1



x

.

c)

1

x



0

lim

0

e





,

x

1

x

0

lim

x

e





  . Wykres funkcji ma asymptotę pionową prawostronną

. a) 0, b) 3, c) 2. d) - 2, e) 0.

0



x

.

2

2

2

3

2

lim

3

1

x

x

x

x









,

2

2

3

2

lim

3

1

x

x

x

x









. Prosta

3



y

3. a)

jest asymptotą poziomą wykresu funkcji.

b)

1

lim

1

x

x

e



 ,

1

lim

1

x

x

e



 . Prosta

asymptotą poziomą.

c)

1



y

1

lim

1

1

x

x

e



 



,

1

1





y

lim

0

1

x

x

e







. Prosta

as. poziomą lewostronną

as. prawostronną.

d)

,

0



y

3

lim arctg

2

3

x

x

x









,

3

lim arctg

2

3

x

x

x









. Prosta

3





y

asymptotą poziomą.

. a)

, b)

, c)













4

, d)

. a) Asymptota ukoś

b) Asymptota ukoś



 .

na 8

3



 x

y

.

na 2



 x

y

5

.

. a) Asymptota pionowa

2



x

, asymptota ukośna 4

2



 x

y

.

b) Asymptoty pionowej nie ma,

y

 1

jest asymptot

6

ą poziomą.

onow

c)

Prosta 0



x

jest asymptotą pi

ą prawostronną, prosta y

 x asymptotą ukośną prawostronną.

d)

Prosta





x

3

jest asymptotą ukośną lewostronną, pro





y

sta y

prawost o
e) Funkcja posiada









x

3

asymptotą ukośną

r nną.

asymptotę pionową lewostronną o równaniu

1



x

oraz asymptotę poziomą obustronną

o równaniu

2

1

y



.

e