Podstawy mechaniki

płynów - biofizyka

układu krążenia

30 października 2006

Ciecze i gazy to płyny

• Zmieniają kształt pod wpływem znikomo

małych sił

• Nie posiadają sprężystości kształtu,

posiadają sprężystość objętości

• Stan stały - duże moduły sprężystości

objętościowej i postaciowej

• Stan ciekły - mniejszy moduł sprężystości

objętościowej, bardzo mały postaciowej

• Stan gazowy – mały moduł sprężystości

objętościowej brak postaciowej

Płyny doskonałe charakteryzują

się brakiem ściśliwości i brakiem

lepkości

• Ruch płynów nazywamy przepływem
• Przepływ jest stacjonarny, gdy w

określonym punkcie przestrzeni prędkość
przepływu jest stała niezależnie od czasu

• Przepływ jest laminarny gdy wszystkie

cząstki płynu poruszają się po torach
równoległych do siebie

Hydromechanika

(hydrostatyka,

hydrodynamika)

• Gazy w odróżnieniu od cieczy muszą

znajdować się w stanie sprężonym i
odznaczają się dużą ściśliwością

• Nie będziemy wnikać w budowę

molekularną ale będziemy płyny
traktować jako ośrodki ciągłe to
znaczy, że gęstość jest ciągłą funkcją
współrzędnych przestrzennych

Hydrostatyka

• Prawo Pascala: Ciśnienie rozchodzi się we

wszystkich kierunkach jednakowo, także w
cieczach nieściśliwych i nieważkich

• Ciśnienie hydrostatyczne: p

h

= ρ

c

hg

• Ciśnienie na pewnej głębokości h jest

większe od ciśnienia zewnętrznego p

z

o ciężar słupa cieczy o wysokości h

• Ciśnienie rośnie liniowo z głębokością

i nie zależy od kształtu naczynia

Ciśnienie całkowite

•p

c

= p

z

+ ρ

c

hg

• p

c

– ciśnienie całkowite [Pa]

• p

z

– ciśnienie zewnętrzne [Pa]

• ρ

c

– gęstość cieczy [kg/m

3

]

• h – wysokość słupa cieczy [m]
• g – przyspieszenie ziemskie [kgm/s

2

]

Ciśnienie aerostatyczne

• Ciśnienie powietrza zmienia

się wykładniczo wraz z
wysokością h

• e ≈ 2,718…
• ρ

0

– gęstość powietrza w 273

K

• p

0

= 1,013251·10

5

N/m

2

0

0

0

p

hg

a

e

p

p





Prawo Archimedesa:

na ciało

zanurzone w cieczy działa siła
wyporu równa ciężarowi wypartej
przez to ciało cieczy

• Q = Vρg (ciężar ciała) ρ – gęstość ciała
• W = Vρ

0

g (siła wyporu) ρ

0

– gęstość cieczy

• R = W – Q (siła wypadkowa)
• ρ > ρ

0

; R < 0 ciało tonie

• ρ=ρ

0

; R=0 ciało pływa na dowolnej głębokości

• ρ < ρ

0

; R>0 ciało pływa częściowo zanurzone

Prawo Torricellego

2
R

2
r

2R»2r

gh

v

2



h

Miary przepływu

• Strumień masy Φ

m

= m/t [kg/s]

• Strumień objętości Φ

V

= V/t [m

3

/s]

• Strumień energii Φ

E

= E/t [J/s]

Prawo ciągłości strumienia

• równanie ciągłości masy

S

1

v

1

ρ

1

Δ

t

S

2

v

2

ρ

2

Δt

v

1

S

1

ρ

1

Δt = v

2

S

2

ρ

2

Δt

ρ

1

= ρ

2

v

1

S

1

= v

2

S

2

=

const

Prawo Bernouliego

(przepływ ustalony, ciecz doskonała)

•p + ½ρv

2

+ ρgh = const

• p – ciśnienie statyczne
• ½ρv

2

– ciśnienie dynamiczne

• ρgh – ciśnienie hydrostatyczne
• Suma energii kinetycznej, potencjalnej

i ciśnienia jednostki masy (lub

objętości) ustalonego przepływu

cieczy doskonałej jest wielkością stałą

Rozkład prędkości cieczy w

rurze

v

Współczynnik lepkości

x

v

S

F









F

V

0

x

∆x

v+∆v

v

S – powierzchnia
płyty

∆v/∆x – stosunek
spadku prędkości do
przyrostu głębokości

η – współczynnik
proporcjonalności

dx

dv

S

F





Współczynnik lepkości

Współczynnik proporcjonalności η

nazywamy dynamicznym
współczynnikiem lepkości cieczy lub
współczynnikiem tarcia
wewnętrznego

η
[Ns/m

2

]≡[Pas]≡[kg/

ms]

P (puaz) ≡
[Ns/10m

2

]

Krew

• Krew stanowi zawiesinę erytrocytów

(krwinki czerwone), leukocytów
(krwinki białe) i trombocytów (płytki
krwi) w plazmie i jest środowiskiem
zapewniającym transport
różnorodnych substancji w
organiźmie. Krew rozprowadza
przede wszystkim gazy oddechowe
tlen i dwutlenek węgla.

Krew

• Krew jest płynem nie spełniającym warunków

Newtona, jest to płyn plastyczno-lepki

• Lepkość krwi zależy od:
• hematokrytu (stosunek objętości krwinek

do objętości krwi)

• temperatury
• przekroju naczynia

η

powietrza

= 17,8·10

-6

η

wody

=

10·10

-4

η

krwi

= 20·10

-4

[kg/ms]

Temperatura a lepkość krwi

•Lepkość krwi podobnie jak

innych płynów wykładniczo
zależy od temperatury

•W temperaturze 0

o

C krew

jest 2,5 razy bardziej lepka
niż w temperaturze 37

o

C

Serce

• Rytmiczne skurcze i rozkurcze serca

wymuszają ruch krwi w układzie krążenia

• Serce stanowi rodzaj pompy, która nie

zużywa energii do napełniania
(przedsionki i komory napełniają się w
sposób bierny), serce zużywa energię
podczas opróżniania

• Nie jest pompą ssąco-tłoczącą, nie

wytwarza podciśnienia podczas
napełniania. Ciśnienie w komorach jest
zawsze dodatnie

Fala tętna

• Rytmiczne skurcze serca wprowadzają

do układu tętniczego zarówno dużego

jak i płucnego, w odstępach około 0,8 s,

takie same objętości krwi około 70 cm

3

(pojemność wyrzutowa serca w

spoczynku). Dzięki dużemu oporowi

obwodowemu krew ta nie od razu

zostaje włączona w obieg krążenia, lecz

rozciąga podatne ściany tętnicy

głównej, dzięki czemu tuż za sercem

tworzy się wybrzuszenie, które

rozchodzi się w kierunku obwodowym w

postaci fali tętna

Liczba Reynoldsa

•

Eksperymenty pokazują, że w pewnych

warunkach przepływ laminarny przechodzi w

turbulentny (burzliwy)

•R

e

= vdρ/η

• v – prędkość cieczy,
• d – średnica rury,
• ρ – gęstość cieczy
• η - współczynnik lepkości

• R

e

< 2000 (2300) przepływ

laminarny

• R

e

> 3000 przepływ turbulentny

• 2000 (2300) < R

e

< 3000 charakter

nieustalony

Siły aero- i

hydrodynamiczne

• Siły aero- i hydrodynamiczne wynikają

z lepkości płynu opływającego
przeszkodę - opór tarcia oraz z
różnicy ciśnień przed i za przeszkodą
powstającej w wyniku opływu
turbulentnego – opór ciśnienia

• O tym który rodzaj oporu przeważa,

decyduje kształt i położenie ciała
względem kierunku ruchu

Siła oporu aero- i

hydrodynamicznego

R

a,h

=

½ρC

x

(α)Sv

2

gdzie:
ρ – gęstość płynu [kg/m

3

]

C

x

(α) – współczynnik kształtu

zależny od kierunku opływu [-]
S – pole powierzchni przekroju
czołowego [m

2

]

v – prędkość płynu względem
obiektu

Opór ciał o różnym kształcie

24 20 8 6 2
1

v

2r

S = const, ρ = const, v

2

= const

Zmienia się kształt czyli C

x

Przyjęto, że opór kształtu opływowego jest
równy 1

Siła i moc oporu

aero- i hydrodynamicznego

R

a,h

=

½ρC

x

(α)Sv

2

Dla tego samego obiektu poruszającego się
w określonym płynie siła oporu zależy od
kwadratu prędkości natomiast moc od
prędkości w trzeciej potędze:

R

a,h

= kv

2

P

a,h

=

kv

3

Ciśnienie hydrostatyczne
krwi

(

wg. Jaroszyka)

Schemat układu krwionośnego

(wg. Jaroszyka)

Przepływ krwi w
układzie krwionośnym

(wg Jaroszyka)

(wg Jaroszyka)

Prędkości przepływu
krwi

10 μm

Odkształcenia krwinki w zależności od prędkości przepływu

Siły i momenty sił działające na

jacht żaglowy w ruchu

• Siły i momenty aerodynamiczne
• Siły i momenty hydrodynamiczne
• Siły i momenty grawitacyjne
• Siły i momenty hydrostatyczne

Składowe siły aerodynamicznej

działającej na jacht żaglowy w

płaszczyźnie poziomej

A

A – siła
aerodynamiczna

X

A

– siła napędowa

Y

A

– siła dryfu

W – prędkość wiatru

X

A

Y

A

W

żagie

l

Zadanie na „6”

Z jaką siłą F

a

i mocą P

a

wiatr

napędza jacht żaglowy typu Ω, o
powierzchni żagli 15 m

2

płynący

pełnym wiatrem z prędkością
v

j

= 3 w (węzły)? Wiatr wieje z

prędkością v

w

= 5 m/s. Współczynnik

aerodynamiczny jachtu z żaglami
przy wietrze od rufy,
c

x

= 1,2.