ROZDZ9C, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów


Z badań doświadczalnych wynika, że dla większości gazów Pr = 0.7 ÷ 0.9. Często przyjmuje się więc Pr ≈ 1 i wtedy równanie energii (9.57) przyjmuje analogiczną postać jak równanie ruchu (9.54a), w którym 0x01 graphic

0x01 graphic
(9.60)

Zatem, w przypadku gdy temperatura ścianki jest stała grubość warstwy przyściennej prędkości jest równa grubości warstwy przyściennej temperatury (jest bowiem 0x01 graphic
).

Jednym z możliwych rozwiązań równania (9.60) jest

(9.61)

co oznacza, że zamiast złożonego równania energii (9.54c) można wykorzystać równanie (9.56), z którego wynika warunek brzegowy (9.55) dla temperatury na ściance. Pełny układ równań opisujący przepływ w ściśliwej warstwie przyściennej będzie więc w tym przypadku następujący:

0x01 graphic
(9.62)

Oczywiście, taka forma równania energii nie odpowiada w pełni rzeczywistemu przepływowi gazu lepkiego w warstwie przyściennej i daje przybliżone wartości parametrów wyznaczających ten przepływ. Jednakże otrzymane wyniki okazują się być przydatne w wielu praktycznych obliczeniach oporów tarcia.

*

Wyprowadzimy jeszcze równanie termicznej warstwy przyściennej dla płaskiego przepływu cieczy lepkiej przyjmując: 0x01 graphic

Równanie energii dla płaskiego przepływu cieczy lepkiej zapiszemy w postaci (8.30) ÷ (8.31) uwzględniając, że 0x01 graphic

0x01 graphic

Po dokonaniu takich samych uproszczeń, jakie przyjęto w równaniu energii dla ściśliwej warstwy przyściennej (9.54), otrzymamy

0x01 graphic

Dla cieczy lepkiej równanie termicznej warstwy przyściennej jest niezależne od równania Naviera-Stokesa; dla jednego pola prędkości można więc obliczać rozkłady temperatur w warstwie przyściennej, odpowiadające różnym warunkom brzegowym. Zauważmy jeszcze, że równanie to jest liniowe, co zezwala na analizowanie jego rozwiązań dla różnych funkcji dyssypacji, po jednorazowym odwróceniu operatora działającego na temperaturę T.

ĆWICZENIA

Przykład 9.1. Z małej szczeliny w płaszczyźnie (rys. 9.5) wypływa ciecz lepka w półprzestrzeń ograniczoną tą płaszczyzną i miesza się z otaczającą cieczą. Wyznaczyć rozkład prędkości cząstek cieczy przy założeniu symetrii ruchu, jeżeli dany jest strumień pędu cieczy w szczelinie.

Występujące w rozważanym przepływie zjawiska tarcia na granicy mieszania się wypływającej i otaczającej cieczy pozwalają na użycie równań warstwy przyściennej. W równaniach tych pomijamy gradient ciśnienia jako wielkość bardzo małą; dla 0x01 graphic
będzie więc:

0x01 graphic
(9.63)

Rozwiązanie tego układu równań powinno spełniać warunki brzegowe:

0x01 graphic
dla

dla 0x01 graphic

0x01 graphic

Rys. 9.5

Pomnóżmy drugie równanie z układu (9.63) przez u i dodajmy do pierwszego,
otrzymamy

0x01 graphic

Całkujemy to równanie względem y do 0 do ∞ (takie granice całkowania można przyjąć zgodnie z teorią warstwy przyściennej)

0x01 graphic

Ponieważ zachodzi proporcjonalność wyrazu po prawej stronie do naprężeń stycznych, a te w nieskończoności muszą być równe zeru, na mocy warunków brzegowych mamy

0x01 graphic

więc

0x01 graphic
(9.64)

tutaj P jest strumieniem pędu cieczy w kierunku osi x.

Zakładając samopodobny charakter przepływu możemy przyjąć, że prędkość u jest funkcją gdzie b jest szerokością strugi, proporcjonalną do Mamy więc dla funkcji prądu (tj. funkcji spełniającej równanie ciągłości i określonej zależnościami 0x01 graphic
0x01 graphic
wyrażenie

0x01 graphic

Wykładniki p i q dobieramy w taki sposób, aby wszystkie wyrazy pierwszego równania (9.63) były tego samego stopnia względem x oraz aby była spełniona zależność (9.64). Po obliczeniach znajdziemy: 0x01 graphic
Wprowadzając nową zmienną

0x01 graphic

wyrazimy funkcję prądu w postaci

0x01 graphic

Składowe prędkości będą równe:

0x01 graphic
(9.65)

tutaj „primem” oznaczono pochodną względem η.

Podstawiając wzór (9.65) do (9.63) mamy

0x01 graphic
(9.66)

Dla nowych zmiennych warunki brzegowe przyjmą postać:

0x01 graphic

Całkując równanie (9.66) z uwzględnieniem powyższych warunków brzegowych otrzymamy

0x01 graphic

Po wprowadzeniu nowych zmiennych:

0x01 graphic

gdzie α jest dowolną stałą, będziemy mieli

0x01 graphic

warunki brzegowe są określone zależnościami:

0x01 graphic

Całkując powyższe równanie otrzymamy

0x01 graphic

Założyliśmy tutaj bez zmniejszania ogólności rozważań, że Można przyjąć takie założenie, ponieważ już wcześniej wprowadziliśmy stałą dowolną α. Wynikiem następnego całkowania z uwzględnieniem warunków brzegowych jest funkcja

którą podstawiamy do pierwszego równania (9.68)

0x01 graphic

Stałą całkowania α możemy wyznaczyć z warunku (9.64); mianowicie

0x01 graphic

Składowe prędkości cząstek cieczy są więc określone zależnościami:

0x01 graphic

gdzie

Badany przepływ nosi nazwę płaskiej strugi zatopionej.

Przykład 9.2. Z obszaru zawartego między dwiema małymi, płaskimi kołowymi równoległymi płytkami (rys. 9.6) wypływa ciecz lepka w przestrzeń nieograniczoną wypełnioną tą samą cieczą. Określić rozkład prędkości w cieczy otaczającej płytki.

0x01 graphic

Rys. 9.6

Do rozważanego przepływu można stosować uproszczenia wynikające z teorii warstwy przyściennej. Równania ruchu po pominięciu gradientu ciśnienia stanowią układ równań:

0x01 graphic
(9.67)

którego rozwiązanie musi spełniać warunki brzegowe:

0x01 graphic

Mnożąc równanie ciągłości przez u i dodając do pierwszego równania (9.67) pomnożonego przez r otrzymamy

0x01 graphic

Całkując tę zależność w poprzek warstwy (względem z) znajdziemy

0x01 graphic

Na brzegach warstwy przyściennej jest 0x01 graphic
oraz na mocy warunków brzegowych i założenia regularności prędkości w dla wszystkich z otrzymamy:

0x01 graphic

gdzie P jest pewną stałą wielkością odpowiadająca strumieniowi pędu w strudze płynącej cieczy. Przy założeniu samopodobieństwa przepływu dla funkcji prądu mamy:

0x01 graphic

Składowe prędkości będą równe:

0x01 graphic

Po podstawieniu tych wyrażeń do pierwszego równania (9.67) uzyskamy równanie różniczkowe dla wyznaczenia nieznanej funkcji f

0x01 graphic

Warunki graniczne dla funkcji f mają postać:

0x01 graphic

Przeprowadzając dalej analogiczne rozumowanie jak w przykładzie 9.1, dostaniemy wyrażenia dla składowych prędkości:

0x01 graphic

gdzie

0x01 graphic

Przykład 9.3. Jeżeli na płaskiej płycie (rys. 9.7), opływanej ze stałą prędkością wystąpi odsysanie z prędkością normalną to za odcinkiem rozbiegowym ustali się przepływ o stałej grubości warstwy przyściennej δ. Wówczas dla prędkość i ciśnienie będą niezależne od x. Wyprowadzić równanie opisujące profil prędkości jaki utworzy się na odcinku l.

0x01 graphic

Rys. 9.7

Prędkość V i ciśnienie p w warstwie przyściennej na odcinku l są niezależne od współrzędnej x, zatem równania różniczkowe Prandtla (9.4) możemy uprościć do następującej postaci:

0x01 graphic

Ponieważ 0x01 graphic
przeto

0x01 graphic

czyli

0x01 graphic
(9.68)

Przy założeniu 0x01 graphic
równanie charakterystyczne

0x01 graphic

ma dwa pierwiastki rzeczywiste: 0x01 graphic
a zatem całka ogólna równania (9.68) ma następującą postać

0x01 graphic
(9.69)

Stałe całkowania wyznaczymy z następujących warunków brzegowych:

0x01 graphic

Po podstawieniu stałych całkowania do równania (9.69) i przekształceniu otrzymamy zależność opisującą profil prędkości

0x01 graphic

Przykład 9.4. Wyznaczyć przy wykorzystaniu wzoru całkowego Karmana (9.43) warstwę przyścienną na płaskiej płytce, rozciągającej się wzdłuż dodatniej półosi x i umieszczonej w jednorodnym polu prędkości.

Rozkład prędkości (9.44) w warstwie przyściennej można przyjąć w postaci

0x01 graphic

zapewniającej spełnienie czterech podstawowych warunków nakładanych na składową prędkości 0x01 graphic
: 0x01 graphic
0x01 graphic
dla y = 0 oraz 0x01 graphic
0x01 graphic
dla y = δ.

Po obliczeniu miary liniowej straty pędu

0x01 graphic

i naprężenia stycznego 0x01 graphic
na ściance

0x01 graphic

z uproszczonego wzoru

0x01 graphic

otrzymujemy równanie

0x01 graphic

z którego wynika grubość warstwy przyściennej (δ = 0 dla x = 0)

0x01 graphic

Jak widać, grubość warstwy przyściennej wzrasta parabolicznie ze zmianą współrzędnej x.

Grubość warstwy przyściennej określa już jednoznacznie naprężenie styczne na ściance

0x01 graphic

i opór tarcia obu stron płytki - przypadający na jej długość l, mierzoną od krawędzi natarcia

0x01 graphic

Zwraca uwagę duża dokładność przybliżonych wzorów uzyskanych metodą Pohlhausena, gdyż w rozwiązaniu dokładnym zagadnienia (9.35) - (9.34) (rozwiązaniu Blasiusa) współczynnik występujący we wzorze na 0x01 graphic
jest równy 0.332, a we wzorze na 0x01 graphic
- 1.328.

280



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
ROZDZ0, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ8C, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ8D, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ11A, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ5A, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ7B, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ5B, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ5C, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ7A, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ10B, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ7D, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ4B, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ8B, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ3A, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ12B, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ2B, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ11B, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ2A, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ7E, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów

więcej podobnych podstron