11. Metody doświadczalne

11.1. Kryteria podobieństwa przepływ*w

Szczególne znaczenie w dziedzinie okrętownictwa, lotnictwa, budownictwa wodnego i wielu innych działach techniki, w których dla konstruktora ważna jest możliwie dokładna znajomość zjawisk przepływowych, mają badania modelowe . Zezwalają one bowiem na przewidywanie zachowania się projektowanej konstrukcji, jeszcze nie zrealizowanej - co zapewnia zwiększenie jej bezpieczeństwa i zmniejszenie ryzyka finansowego.

Zbadamy obecnie warunki konieczne, które musi spełniać zjawisko modelowe, aby wyniki doświadczeń prowadzonych na modelu odnosiły się z dostateczną dokładnością do zjawisk rzeczywistych w pełnej skali. Są to tzw. kryteria podobie*stwa , które znajdują zastosowanie nie tylko w doświadczalnej mechanice płynów, ale także w wielu innych gałęziach fizyki doświadczalnej, jak np. w technice cieplnej.

Rys. 11.1

Pierwszym kryterium musi być kryterium geometrycznego podobieństwa modelu i obiektu rzeczywistego - byłoby bowiem nierozsądne przypuszczenie, że wyniki badań modelowych można przenosić na obiekt rzeczywisty w przypadku zasadniczej różnicy kształtu. Kryterium to będzie spełnione, jeżeli wszystkie stosunki współrzędnych odpowiadających sobie punktów (rys. 11.1) są stałe

(11.1)

gdzie jest skalą geometryczną. Dzieląc współrzędne i parametry geometryczne obiektu i modelu przez dowolnie wybrany parametr geometryczny otrzymamy bezwymiarowe współrzędne i parametry geometryczne:

(11.2)

Wynika stąd, że współrzędne bezwymiarowe odpowiadających sobie punktów obiektu rzeczywistego i modelu są sobie równe:

(11.3)

gdyż na mocy (11.1) mamy

Drugie kryterium, nazywane kryterium podobie*stwa kinematycznego , mówi o konieczności występowania podobieństwa geometrycznego między obrazami przepływów wokół modelu i wokół obiektu rzeczywistego. Oznacza ono, że w odpowiadających sobie punktach stosunki prędkości i przyspieszeń muszą zachowywać stałe wartości:

(11.4)

gdzie współczynniki i są , odpowiednio, skalą prędkości i skalą przyspieszenia. Podobieństwo kinematyczne przepływu wynika bezpośrednio z podobieństwa geometrycznego oraz z podobieństwa dynamicznego, zgodnie z którym wieloboki sił w przepływie modelowym i w przepływie rzeczywistym muszą być podobne.

Kryterium podobieństwa kinematycznego będzie spełnione jeśli wszystkie pola wielkości fizykalnych (pola: prędkości, przyspieszenia, temperatury, gęstości itd.), występujące równocześnie we wspólnym obszarze przestrzennym, będą podobne

(11.5)

gdzie stosunek jest skalą podobieństwa wielkości ϕ. Przechodząc do wielkości bezwymiarowych opisujących pola fizykalne:

(11.6)

gdzie
i
są wielkościami odniesienia (rys. 11.1), stwierdzamy, że bezwymiarowe funkcje i przybierają równe wartości w odpowiadających sobie geometrycznie punktach tych pól

(11.7)

Rozciągając pojęcie podobieństwa również na pola fizykalne niestacjonarne i wprowadzając skalę czasu

(11.8)

oraz bezwymiarowe czasy i w analogii do bezwymiarowych współczynników przestrzennych (11.2), dochodzimy do głównego twierdzenia o podobieństwie zjawisk : dwa porównywane zjawiska są podobne jeśli dają się przedstawić w formie bezwymiarowej identycznym układem równań z identycznymi warunkami brzegowymi i początkowymi.

∗

Przedstawimy przykład zastosowania podanego twierdzenia do zagadnień laminarnego ruchu cieczy lepkiej, opisywanego układem równań (8.38). Układ ten wraz z warunkami początkowymi i brzegowymi sprowadzamy do postaci bezwymiarowej, wyrażając wielkości wymiarowe przez wielkości odniesienia i parametry bezwymiarowe:

(11.9)

gdzie g jest przyspieszeniem ziemskim. Po podstawieniu i odpowiednim uporządkowaniu otrzymamy:

(11.10)

Jak stąd widać dwa przepływy cieczy lepkiej będą podobne wówczas, gdy bezwymiarowe stałe parametry - parametry podobieństwa , utworzone z charakterystycznych dla przepływu stałych wielkości:

(11.11)

będą jednakowe dla obu przepływów. Pełne podobieństwo obu przepływów wymaga więc równości wszystkich czterech liczb podobieństwa. Niestety, całkowite podobieństwo przepływów jest rzadko osiągalnym zjawiskiem, gdyż zwykle nie można zrealizować wszystkich warunków przepływu modelowego przy ograniczonej liczbie parametrów swobodnie dobieranych przez badacza. Żądając więc równości tylko niektórych liczb podobieństwa otrzymamy różne kryteria częściowego podobieństwa przepływów.

Liczby podobieństwa (11.11) przedstawiają stosunki sił występujących w przepływie, o czym łatwo można się przekonać zestawiając wszystkie siły (odniesione do jednostki masy) i wyrażając je za pomocą charakterystycznych wielkości przepływu:

− siła bezwładności lokalna,

− siła bezwładności konwekcyjna,

− siła ciężkości, (11.12)

− siła ciśnieniowa,

− siła lepkości.

Z tych sił można utworzyć cztery niezależne stosunki, którymi są liczby podobieństwa (11.11):

(11.13)

(11.13cd.)

Liczba Strouhala określa więc podobieństwo zjawisk niestacjonarnych, liczba Reynoldsa mówi o podobieństwie ze względu na lepkość, liczba Froude'a odnosi się do zjawisk ruchu cieczy w ziemskim polu grawitacyjnym, natomiast liczba Eulera obowiązuje w zagadnieniach, w których występuje wpływ ściśliwości i wyraża się dla przepływu gazu - na mocy związku (7.20) - również poprzez liczbę Macha

(11.14)

Z dużej liczby innych parametrów podobieństwa wymienimy jeszcze liczbę
Webera

(11.15)

będącą stosunkiem siły do jednostkowej siły napięcia powierzchniowego (1.9)
- istotną dla przepływu cieczy w cienkiej warstwie lub strudze z powierzchnią swobodną. Warto też wspomnieć, że wykładnik adiabaty κ i liczba Prandtla (9.59) należą do grupy parametrów określających podobieństwo ze względu na właściwości termodynamiczne i ruch ciepła w gazie.

11.2. Analiza wymiarowa

W sytuacji gdy nie dysponujemy układem równań i związków określających badane zagadnienie, pomocną okazuje się być analiza wymiarowa . Zezwala ona na uzyskanie bezwymiarowych parametrów podobieństwa, jeśli wiemy, od jakich wielkości zależy rozwiązanie tego zagadnienia i opiera się na oczywistym stwierdzeniu, że każde równanie opisujące jakiś proces fizyczny musi być jednorodne wymiarowo.

Wszystkie wielkości fizyczne posiadają wymiary, a do ich wyrażenia wystarcza pewna liczba wielkości podstawowych. Wielkościami podstawowymi w kinematyce są: długość L i czas T, w dynamice trzeba wprowadzić dalszy wymiar - masę M, a w termodynamice temperaturę θ. Wymiary wszystkich innych, używanych w mechanice płynów wielkości są utworzone z wymiarów podstawowych, np.:

[ prędkość ] =

[ siła ] =

O liczbie i jednoznaczności parametrów podobieństwa orzeka twierdzenie Buckinghama ( twierdzenie π ) , dotyczące struktury związku postaci

(11.16)

między wielkościami fizykalnymi 
 Opiera się ono na następujących założeniach:

1) wszystkie wielkości występujące w związku (11.16) są wymiarowo niezmiennicze i wymiarowo jednorodne co oznacza, że kształt funkcji (11.16) nie zależy od wyboru jednostek i nie zmieni ona wymiaru, jeśli jej argumenty pomnożymy przez jakiekolwiek liczby dodatnie,

2) spośród wszystkich wielkości
wybieramy tzw. bazę, składającą się z wielkości wymiarowo niezależnych
- takich, że żadna z wielkości wchodzących w jej skład nie da się przedstawić jako wynik potęgowania pozostałych.

Zgodnie z twierdzeniem Buckinghama pozostałe, wymiarowo zależne wielkości mają postać iloczynów:

(11.17)

gdzie  są wielkościami bezwymiarowymi, natomiast wykładniki
- liczbami rzeczywistymi, a równanie (11.16) może być zastąpione równaniem następującym

(11.18)

Parametrami podobieństwa mogą być tylko te bezwymiarowe iloczyny potęgowe które są zbudowane z wielkości fizykalnych, będących stałymi. Wy-

znaczamy je ze związków (11.17) stosując zasadę zgodności wymiarów, a więc np. dla m = 3 i wymiarów podstawowych M , L , T mamy

(11.19)

Przepisując to równanie w postaci wzoru wymiarowego otrzymujemy

i następnie układ trzech równań względem wykładników

(11.20)

W ten sam sposób tworzymy również pozostałe iloczyny

Przykładami zależności, których uzasadnienie może być dokonane za pomocą twierdzenia π są:

a) wzór Darcy'ego-Weisbacha (5.22) (przykł. 11.3),

b) wzór określajacy moduł dowolnej siły P za pośrednictwem bezwymiarowego współczynnika
(przykł. 10.5 i 11.4)

(11.21)

gdzie jest modułem prędkości w nieskończoności, σ - powierzchnią odniesienia.

11.3. Pomiary wielkości fizykalnych

Mechanika płynów jako gałąź fizyki rozwija się poprzez wzajemne, ścisłe oddziaływanie teorii i doświadczenia. Ważne jest więc poznanie najprostszych metod, dzięki którym można określić naturę substancji, będących przedmiotem rozważań oraz poznać własności ich ruchu.

W praktyce interesujące są wszystkie własności płynów, które zostały omówione w rozdziale 1.3; do najważniejszych należą: gęstość i lepkość.

Jedną z najdokładniejszych metod pomiaru gęstości jest metoda, oparta na zastosowaniu specjalnego naczynia, nazywanego piknometrem (rys. 11.2), które umożliwia bardzo dokładne odmierzanie objętości τ cieczy. Objętość naczynia i jej

zmiana pod wpływem temperatury muszą być dokładnie znane. Gęstość cieczy wynika z porównania ciężaru cieczy z różnicą ciężarów: naczynia napełnionego cieczą i naczynia pustego.

Rys. 11.2

Inna, równie dokładna, metoda pomiaru gęstości opiera się na wykorzystaniu prawa Archimedesa, które mówi, że ciężar ciała zanurzonego w płynie zmniejsza się o ciężar płynu wypartego przez to ciało. Na prawie Archimedesa oparta jest zasada działania przyrządu zwanego areometrem (rys. 11.3).

Rys. 11.3

Gęstość cieczy można wyznaczyć również za pomocą rurki wykonanej w kształcie litery U (rys. 11.4), w której ciężar jej słupa jest zrównoważony ciężarem słupa innej cieczy o znanej gęstości (ciecze nie mogą mieszać się ze sobą).

Rys. 11.4

Podstawę pomiaru lepkości płynu stanowią określone zależności funkcyjne między lepkością płynu, a pewnymi wielkościami bezpośrednio mierzalnymi. Przyrządy do pomiaru lepkości nazywają się lepkościomierzami lub wiskozymetrami . Można je podzielić na trzy rodzaje:

1. Lepkościomierze obrotowe (przykł. 8.4).

2. Lepkościomierze kapilarne, w których pomiar lepkości opiera się na prawie Hagena i Poiseuille'a (przykł. 8.3) i wzorze na czas wypływu cieczy z naczynia (rozdz. 5.2) Tego rodzaju przyrządem jest lepkościomierz Redwooda (rys. 11.5). Aby zmierzyć lepkość cieczy za pomocą tego lepkościomierza należy wypełnić cieczą główny zbiornik, aż do poziomu określonego położeniem wskaźnika zwierciadła cieczy, a następnie podnieść temperaturę płynu w otaczającym naczyniu pierścieniowym do wartości, przy której chcemy zmierzyć lepkość. Po ustaleniu się

Rys. 11.5

temperatury cieczy odsuwa się zawór kulkowy zamykający kapilarę i mierzy się czas wypływu badanej cieczy.

3. Lepkościomierze z opadającą kulką (rys. 11.6), w których wykorzystuje się wzór Stokesa na opór kuli opadającej z prędkością graniczną w nieruchomym płynie.

Rys. 11.6

Pomiary ciśnień, prędkości i wydatku zajmują szczególną rolę w eksperymentalnej mechanice płynów, gdyż są to pomiary wykonywane najczęściej. Pomiary tych wielkości powinny być możliwie dokładne, gdyż np. siły aerodynamiczne zależą od kwadratu prędkości; istotną więc rolę odgrywa kształt i wielkość przyrządów pomiarowych, wywołujących zaburzenie ośrodka w bezpośrednim otoczeniu punktów, w których należy przeprowadzić pomiary.

Jedną z najprostszych metod pomiaru ciśnienia w wielu punktach przepływu jest pomiar za pomocą baterii manometrów złożonej z wielu szklanych rurek (rys. 11.7),

Rys. 11.7

316

---