ROZDZ11C, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów


w której współczynnik przepuszczalności 0x01 graphic
zależy wyłącznie od fizycznych własności ośrodka.

Zastępując iloraz prędkością filtracji V, na podstawie wzoru (11.22) możemy zapisać prawo Darcy'ego w postaci

0x01 graphic
(11.25)

w której został wprowadzony znak minus, uwzględniający przeciwny zwrot prędkości do zwrotu osi z - i następnie, po przejściu do granicy, w postaci różniczkowej:

0x01 graphic
(11.26)

Uogólniając ten wzór, w przestrzennym układzie współrzędnych prostokątnych możemy napisać

0x01 graphic
(11.27)

skąd wynika, że składowe prędkości filtracji można wyrazić za pomocą pochodnych cząstkowych funkcji 0x01 graphic
zwanej potencja*em pr*dkości filtracji :

0x01 graphic

Na mocy równania ciągłości zagadnienie wyznaczania ruchu wód swobodnych w jednorodnym ośrodku porowatym (gruncie) sprowadza się więc do rozwiązania równania Laplace'a

0x01 graphic
(11.28)

z warunkami brzegowymi zależnymi od tego, czy powierzchnie ograniczające są przepuszczalne, nieprzepuszczalne, czy też są powierzchniami swobodnymi.

Na podstawie doświadczeń ustalono, że ruch cieczy w ośrodku porowatym podlega liniowemu prawu Darcy'ego w zakresie małych liczb Reynoldsa

0x01 graphic
(11.29)

gdzie d jest średnicą ziaren ośrodka porowatego.

ĆWICZENIA

Przykład 11.1. Dla obliczenia współczynnika oporu samochodu wyścigowego o długości l = 5 m i rozwijającego prędkość V = 220 0x01 graphic
wykonano model w skali 1:10 i zbadano w tunelu wodnym. Z jaką prędkością musi przepływać woda w tunelu, aby zachowane było pełne podobieństwo dynamiczne przepływu? Temperatura wody t = 20°C.

W temperaturze t = 20°C lepkości kinematyczne powietrza i wody są równe: , = 0.01; z równości liczb Reynoldsa

0x01 graphic

mamy

.

Przykład 11.2. Z jaką prędkością musi poruszać się model statku, aby zachowane było podobieństwo dynamiczne:

a) przy uwzględnieniu sił lepkości,

b) przy uwzględnieniu sił ciężkości.

Model jest wykonany w skali 1:10. Statek porusza się z prędkością = 36 0x01 graphic

a) z równości liczb Reynoldsa znajdujemy

0x01 graphic

skąd obliczamy

0x01 graphic

b) z równości liczb Froude'a

0x01 graphic

mamy

0x01 graphic

Przykład 11.3. Posługując się metodą analizy wymiarowej wyprowadzić zależność strat liniowych ciśnienia 0x01 graphic
od średnicy przewodu d, jego długości l, własności fizycznych cieczy: gęstości ρ i współczynnika lepkości dynamicznej μ, średniej prędkości przepływu w poprzecznym przekroju przewodu V oraz średniej chropowatości k.

Poszukiwaną zależność zapiszemy w postaci

0x01 graphic
(11.30)

W zależności (11.30) mamy wielkości, których wymiary zawierają jednostki podstawowe: L , M , T.

Zgodnie z twierdzeniem π (11.18) równanie (11.30) można przedstawić za pomocą wzoru zawierającego bezwymiarowych parametrów

0x01 graphic
(11.31)

W celu wyznaczenia parametrów 0x01 graphic
obieramy trzy wielkości podstawowe, np.: 0x01 graphic
które zawierają wszystkie jednostki podstawowe i są od siebie wymiarowo niezależne

0x01 graphic

Tworzymy cztery iloczyny bezwymiarowe:

0x01 graphic

0x01 graphic

Z porównania wykładników potęg przy jednostkach podstawowych wynikają na-stępujące układy równań:

a) obliczanie parametru π:

0x01 graphic

b) obliczanie parametru

0x01 graphic

c) obliczanie parametru

0x01 graphic

d) obliczanie parametru

0x01 graphic

Po rozwiązaniu tych układów równań otrzymujemy:

a)

b) 0x01 graphic

c) 0x01 graphic

d) 0x01 graphic

i następnie bezwymiarowe parametry podobieństwa:

0x01 graphic

które podstawiamy do równania (11.31) uzyskując związek

0x01 graphic

Ze związku tego, przy założeniu 0x01 graphic
, wynika znany wzór Darcy'ego-Weisbacha (5.22).

Przykład 11.4. Stosując analizę wymiarową wyprowadzić ogólne równanie na ciśnienie, wywierane na ciało przez ciecz.

Ogólny wzór na ciśnienie można wyrazić następująco

0x01 graphic
(11.32)

gdzie l jest wymiarem charakterystycznym ciała poruszającego się z prędkością w cieczy o gęstości ρ i lepkości μ, przy czym przyspieszenie grawitacyjne wynosi g, a napięcie powierzchniowe cieczy σ.

Wybieramy bazę składającą się z wielkości: ρ , V, L :

0x01 graphic

i sprawdzamy ich liniową niezależność

Zgodnie z twierdzeniem Buckinghama liczba bezwymiarowych iloczynów wyniesie: q = 4. Tworzymy więc kombinacje ciśnienia p z wielkościami fizycznymi 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

i następnie równanie (11.32) zapisujemy w postaci

0x01 graphic

Po wyrażeniu wielkości fizycznych p, μ , g i σ w układzie M L T :

0x01 graphic

i wyznaczeniu wykładników potęgowych z odpowiednich układów równań (11.20) otrzymujemy następujące parametry podobieństwa:

0x01 graphic
− bezwymiarowe ciśnienie,

0x01 graphic

Przykładowo wykładniki potęgowe określające parametr podobieństwa π tworzą układ równań:

0x01 graphic

którego rozwiązaniem są wartości wykładników:

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

Dodatkowo otrzymaliśmy informację o strukturze wzoru wyrażającego ciśnienie: jest to iloczyn 0x01 graphic
i bezwymiarowej funkcji π, jako współczynnika

0x01 graphic

Przykład 11.5. Anemometr czaszowy (rys. 11.21), wstawiony w strumień przepływającego powietrza, obraca się ze stałą prędkością kątową ω. Pomijając opory tarcia oraz zakładając, że współczynnik siły nośnej dla czasz ustawionych wzdłuż kierunku przepływu jest równy zeru, wyznaczyć prędkość powietrza. Przyjąć promień wirnika równy R oraz współczynniki dla czaszy wklęsłej i kulistej równe: = = 1.33, = 0.34.

0x01 graphic

Rys. 11.21

Prędkość kątowa wirnika ω = const, zatem suma momentów pochodząca od sił aerodynamicznych względem osi O wirnika jest równa zeru, czyli

0x01 graphic
(11.33)

Poszczególne siły wynoszą:

0x01 graphic
, (11.34)

0x01 graphic
. (11.35)

Podstawiając zależności (11.34) i (11.35) do równania (11.33) i uwzględniając przy tym, że

0x01 graphic

otrzymujemy

0x01 graphic

stąd

0x01 graphic
.

Prędkość unoszenia jest równa

0x01 graphic

przeto prędkość powietrza wynosi

0x01 graphic

Przykład 11.6. Dana jest prostokątna komora filtracyjna o wymiarach i wypełniona trzema jednakowej grubości warstwami filtracyjnymi o współczynnikach filtracji równych:

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

Obliczyć przepływ wody przez komorę, jeżeli różnica poziomów wody w komorze filtracyjnej i w komorze czerpnej przy ustalonym przepływie wynosi 0x01 graphic
pomijając straty na poziomym przepływie wody.

Wyrazimy różnicę poziomów wody w komorze filtracyjnej i komorze czerpnej za pomocą strat ciśnienia na poszczególnych warstwach filtracyjnych

0x01 graphic

które obliczamy z prawa Darcy'ego (11.26):

0x01 graphic

Uwzględniając ciągłość ruchu cieczy

oraz jednakową wysokość warstw filtracyjnych

0x01 graphic

mamy

0x01 graphic

a stąd

0x01 graphic
.

i następnie

0x01 graphic
.

Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymamy

330



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
ROZDZ11A, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ10B, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ12B, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ11B, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ1, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ0, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ8C, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ9C, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ8D, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ5A, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ7B, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ5B, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ5C, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ7A, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ7D, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ4B, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ8B, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ3A, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów
ROZDZ2B, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów

więcej podobnych podstron