1. POJĘCIA PODSTAWOWE MECHANIKI PŁYNÓW

1.1. Przedmiot mechaniki płynów

Mechanika płynów zajmuje się badaniem zjawisk ruchu i równowagi cieczy i gazów, ze szczególnym uwzględnieniem oddziaływania płynu na ścianki ciał stałych, ograniczających płyn. Mechanika płynów jest częścią mechaniki, najstarszego i podstawowego działu fizyki.

Początków badań nad ruchem cieczy i gazów można upatrywać już w działalności Greków i Rzymian (Arystoteles, Archimedes). Ponowne zainteresowanie się tymi zagadnieniami nastąpiło dopiero w XV wieku, zapoczątkowane pracami Leonarda da Vinci. Mechanika płynów rozwinęła się głównie dzięki wzajemnemu oddziaływaniu empirycznego podejścia inżynierów oraz bardzo wyidealizowanego podejścia matematycznego. Znaczny postęp w rozwoju tej dziedziny mógł być dokonany po odkryciu rachunków różniczkowego i całkowego, oraz po odkryciach w zakresie mechaniki ogólnej (Galileusz, Newton). Obserwacje Daniela Bernoulliego oraz prace Eulera zadecydowały o narodzinach hydrodynamiki klasycznej, która rozwinęła się bardzo szybko w ciągu XIX wieku. Okres rewolucji przemysłowej postawił przed inżynierami liczne nowe problemy, był także czynnikiem powodującym istotny postęp w dziedzinie metod eksperymentalnych (Rayleigh, Osborne, Reynolds, Froude). Kolejny etap rozwoju w dziedzinie badań matematycznych nad ruchem płynów został dokonany poprzez uwzględnienie efektów lepkości (Navier, Stokes) oraz spostrzeżenie, że efekty lepkości płynu występują przede wszystkim w cienkiej warstwie płynu, graniczącej bezpośrednio z opływaną powierzchnią ciała stałego (Prandtl). Dalszy postęp w mechanice płynów został znacznie przyspieszony wskutek pojawienia się samolotu i potrzeby głębszego zrozumienia zjawisk aerodynamicznych (Lanchester, Kutta, Żukowski). Współczesna technika obliczeniowa znacznie rozszerzyła zakres rozwiązywanych zagadnień, które mogą być uzyskane przy wykorzystaniu fundamentalnych równań mechaniki płynów.

Występujące w przyrodzie ciała możemy umownie podzielić na ciała stałe i płyny , biorąc za podstawę podziału wpływ działania sił mechanicznych na zmianę kształtu każdego z tych rodzajów ciał. Ciała stałe nie zmieniają swojego kształtu w sposób trwały pod działaniem dostatecznie małych sił mechanicznych, płyny natomiast zmieniają swój kształt w sposób trwały pod działaniem dowolnie małych sił mechanicznych, byle tylko ich działanie trwało dostatecznie długo.

Płyny dzielimy z kolei umownie na ciecze i gazy w oparciu o wyniki obserwacji dotyczące zmian ich objętości. Cieczami nazywamy płyny, które zachowują niemal stałą objętość pod działaniem nawet bardzo wielkich sił mechanicznych i przy dostatecznie małych zmianach temperatury, gazami natomiast - płyny, które pod działaniem tych dwu czynników mogą znacznie zmieniać swą objętość.

Na cząsteczkę płynu działają dwie siły: przyciągająca i odpychająca - szybko zmieniające się wraz ze zmianą odległości między cząsteczkami. Cząsteczki cieczy znajdują się w takiej średniej odległości od siebie, że działająca na każdą z nich siła wypadkowa jest równa zeru i masa cieczy jest spójna; ciecze mają właściwość tworzenia powierzchni swobodnej, a ich objętość jest ograniczona. W przypadku gazu średnie odległości poszczególnych cząsteczek są względnie duże toteż właściwie nie oddziaływują one na siebie za wyjątkiem krótkich okresów czasu; gaz wypełnia więc całą objętość naczynia, w którym się znajduje oraz może być sprężony przy zastosowaniu niezbyt dużych sił.

Opisane różnice w zachowaniu się ciał stałych, cieczy i gazów pod wpływem działania sił były znane od dawna, przy czym formułowano je zwykle w sposób następujący: ciałom stałym przypisywano tzw. sprężystość kształtu i sprężystość objętości, cieczom - tylko sprężystość objętości, gazami natomiast nazywano ciała pozbawione zarówno sprężystości kształtu, jak i sprężystości objętości.

Ze względu na fakt, że źródłem wiedzy o zjawiskach ruchu i równowagi cieczy i gazów są zarówno badania eksperymentalne, jak i rozważania teoretyczne - mechanikę płynów dzieli się często na doświadczalną i teoretyczną. W ostatnich latach wyodrębnił się trzeci dział mechaniki płynów - numeryczna mechanika płynów, rozwinięty po pojawieniu się elektronicznych maszyn liczących.

Podział mechaniki płynów oparty na metodzie badania nie jedyny. Można np. zastosować kryteria podziału obowiązujące w mechanice ciał sztywnych i mówić o statyce, kinematyce oraz dynamice płynów. Do innych kryteriów podziału mechaniki płynów należą: zakres rozważanych prędkości przepływu, właściwości fizyczne modelu cieczy lub gazu, cechy matematycznego opisu zjawisk przepływowych itp. Ze względu na dużą różnorodność zastosowań mechaniki płynów i specyfikę badań, wyodrębniono z niej szereg działów jak, np.: hydraulika, aerodynamika, dynamika gazu, meteorologia, filtracja, akustyka, teoria smarowania, dynamika morza, teoria maszyn przepływowych, transport hydrauliczny i pneumatyczny, aeracja, reologia i inne.

1.2. Model ośrodka ci*g*ego

Każda teoria opiera się na uproszczonym modelu badanego zjawiska, zachowującego jego cechy istotne i pomijającego cechy mniej istotne. Takimi modelami w mechanice klasycznej są punkt materialny i ciało doskonale sztywne. W mechanice płynów pomijamy cząsteczkową strukturę płynu i traktujemy płyn jako ośrodek ciągły, tzn. układ mechaniczny zawierający nieskończoną liczbę cząsteczek, wypełniających w sposób ciągły daną objętość.

Założenie ciągłości ośrodka jest z punktu widzenia matematyki równoważne postulatowi ciągłości wszystkich funkcji, opisujących stan i ruch ośrodka. Korzyść związana z wprowadzeniem modelu ośrodka ciągłego polega zatem na możliwości wykorzystania stosunkowo prostego aparatu matematycznego. Zakres stosowalności tego modelu jest określony stosunkiem średniej swobodnej drogi cząsteczki płynu do charakterystycznego wymiaru liniowego występującego w badanym zjawisku. Rozrzedzenie gazu określamy za pomocą tzw. liczby Knudsena

(1.1)

będącej stosunkiem średniej drogi swobodnej λ molekuł gazu do liniowego wymiaru charakterystycznego l opływanego ciała; wymiarem tym może być np. w przypadku rakiety jej długość lub średnica. Przyjmuje się, że model ośrodka ciągłego obowiązuje w zakresie Kn < 0.1. Okazuje się, że atmosferę ziemską można traktować jako ośrodek ciągły, przy przyjęciu wymiaru charakterystycznego l = 1 m, do wysokości 100 km, a w problematyce technicznej liczby Knudsena posiadają tak małe wartości, że bez zastrzeżeń można stosować model ośrodka ciągłego.

Przyjęcie modelu ośrodka ciągłego zezwala na wprowadzenie pojęcia elementu płynu , tzn. takiej objętości
której wymiary liniowe są wielkościami małego rzędu, w porównaniu z wymiarami liniowymi ciała stałego znajdującego się w płynie, bądź też naczynia zawierającego płyn, ale która - z drugiej strony - zawiera tak dużą liczbę cząsteczek płynu, że właściwości makroskopowe płynu określone w stosunku do tej objętości zachowują swój sens (przykładowo w 1 mm³ wody znajduje się 3*10¹⁹ cząsteczek). W płynie ciągłym możliwe jest przejście graniczne

element może być dowolnie mały, a mimo to zachowuje wszystkie makroskopowe właściwości fizykalne płynu. Wobec tego można określać wszystkie właściwości makroskopowe płynu ciągłego jako funkcje punktu i traktować je jak pola, co zezwala na znaczne uproszczenie strony matematycznej badań nad ruchem płynu ciągłego.

1.3. Własności płynów

Do podstawowych parametrów określających własności fizyczne płynów należą: gęstość, ciężar właściwy i lepkość.

Gęstość płynu w pewnym punkcie przestrzeni definiowana jest jako granica stosunku elementarnej masy płynu
do zawierającej tę masę elementarnej objętości
gdy
dąży do zera. Zatem

(1.2)

Ciężar właściwy jest to granica stosunku ciężaru elementu płynu
do jego objętości
gdy
dąży do zera, czyli

(1.3)

Lepkość jest to własność płynu, dzięki której mogą pojawiać się w nim siły ścinające.

Hipotezę wiążącą naprężenie występujące w płynie z prędkością odkształcenia płynu zawdzięczamy Newtonowi. Dotyczyła ona naprężeń pojawiających się w płynie wypełniającym przestrzeń między dwiema płaskimi, równoległymi płytami, poruszającymi się względem siebie ze stałą prędkością U. Jeżeli odległość między płytami wynosi h, to - według hipotezy Newtona - naprężenie styczne τ, występujące w dowolnej płaszczyźnie równoległej do płyt, wyraża się wzorem

(1.4)

w którym występuje współczynnik μ, zależny od własności płynu, nazywany dynamicznym współczynnikiem lepkości albo w skrócie lepkością dynamiczną.

Stosunek lepkości dynamicznej μ
do gęstości

(1.5)

nazywa się lepkością kinematyczną.

Zależność (1.4) można nieco uogólnić, wprowadzając zamiast stosunku składową gradientu prędkości płynu, normalną do płaszczyzny, na której występuje naprężenie styczne (rys. 1.1). Mamy wówczas

(1.6)

Rys. 1.1

Równanie (1.6) stosuje się wtedy, gdy ruch płynu ma charakter przesuwania się po sobie równoległych warstw, czyli wtedy, gdy przepływ jest laminarny.

Płyny takie, jak: powietrze, woda, oleje mineralne, które zachowują się zgodnie z prawem Newtona, nazwano płynami newtonowskimi - w odróżnieniu od innych substancji zwanych płynami nienewtonowskimi , np. płynne mieszanki gliny i cementu, smoły, roztwory i stopy polimerów, do których nie stosują się liniowe związki (1.4) ÷ (1.6).

Chcąc zastosować prawo Newtona do wyznaczania rozkładu prędkości w płynie, musimy znać prędkość płynu na ściance ograniczającej obszar wypełniony przesuwającym się płynem. Otóż na podstawie doświadczeń można stwierdzić, że na ściankach ciał stałych płyn pozostaje w spoczynku względem nich - co zezwala na sformułowanie warunku dotyczącego braku poślizgu na ściankach ciał stałych.

Lepkość zależy głównie od temperatury, nieznacznie zaś od ciśnienia. Zmianę lepkości wody w zależności od temperatury można wyznaczyć z zależności

(1.7)

gdzie jest dynamicznym współczynnikiem lepkości przy temperaturze t = 0°C.

Lepkość powietrza w zależności od temperatury określa się wzorem

(1.8)

gdzie odpowiada temperaturze = 273 K. Na rys. 1.2 przedstawione są wykresy obu zależności (1.7) ÷ (1.8).

Rys. 1.2

Z faktem występowania w przypadku cieczy powierzchni swobodnej i z istnieniem sił spójności wiążą się znane zjawiska napięcia powierzchniowego oraz włoskowatości . W drugim przypadku istotną rolę odgrywają oddziaływania między cząsteczkami rozpatrywanej cieczy a cząsteczkami ścianek naczynia.

Na cząsteczki cieczy znajdujące się na jej powierzchni działają jednocześnie siły przyciągania innych cząsteczek cieczy skierowane do wnętrza obszaru i słabe przyciąganie cząstek gazu skierowane w kierunku przeciwnym. Powoduje to, że układ dąży do zmniejszenia ilości cząstek znajdujących się na powierzchni, czyli do zmniejszenia jej pola. Powierzchnia ta znajduje się więc w stanie napięcia, którego miarą jest napięcie powierzchniowe

(1.9)

będące stosunkiem siły P do długości przekroju l, na który działa.

Liczbowo siły napięcia powierzchniowego są bardzo małe i ich działanie objawia się jedynie wtedy, gdy rozpatrywane są niewielkie ilości cieczy.

Ściśliwością cieczy nazywamy jej zdolność do zmniejszania objętości na skutek działania sił zewnętrznych (ciśnienia); jest charakteryzowana współczynnikiem ściśliwości

(1.10)

będącym stosunkiem względnej zmiany objętości cieczy do przyrostu ciśnienia
który tę zmianę wywołał. Często zamiast współczynnika jest też używana jego odwrotność
zwana modułem sprężystości .

Korzystając z zależności

obliczamy

i następnie

. (1.11)

Rozszerzalność cieplną cieczy określamy przy pomocy współczynnika rozszerzalności cieplnej

(1.12)

wyrażającego stosunek względnej zmiany objętości
do przyrostu temperatury d T, który tę zmianę wywołał.

Istniejące dwa rodzaje płynów rzeczywistych, a mianowicie ciecze i gazy, posiadają określone własności fizyczne, jak ściśliwość oraz zdolność przenoszenia naprężeń stycznych - lepkość. Często jednak dla uproszczenia rozważań teoretycznych traktuje się ciecze jako substancje nieściśliwe. W wielu przypadkach zakłada się również, że płyn jest nielepki; płyn zarazem nieściśliwy i nielepki nazywa się cieczą doskonałą .

Ciecze i gazy różnią się znacznie właściwościami termodynamicznymi. Gazy będziemy uważać za ściśliwe, w sposób zgodny z równaniem stanu gazu doskonałego. Energia wewnętrzna płynu będzie przyjmowana jako liniowa funkcja temperatury bezwzględnej.

Dla gazów doskonałych termodynamiczne zmiany gęstości związane są ze zmianami temperatury i ciśnienia zgodnie z równaniem Clapeyrona

(1.13)

gdzie p jest ciśnieniem absolutnym, T - temperaturą bezwzględną, a R indywidualną stałą gazową.

W przypadku gazów współczynnik ściśliwości nie jest stały i zależy od sposobu sprężania. Przy sprężaniu izentropowym (bez wymiany ciepła z otoczeniem i bez tarcia) związek między ciśnieniem, a gęstością opisany jest zależnością

(1.14)

w której
jest stosunkiem ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu do ciepła właściwego przy stałej objętości (dla powietrza przyjmujemy κ = 1.4). Wielkość jest większa od
, a ich różnica jest równa indywidualnej stałej gazowej

(1.15)

Podstawowe charakterystyki niektórych cieczy i gazów podane są w tablicach
1.1 ÷ 1.2.

TABLICA 1.1. Własności fizyczne niektórych cieczy w temperaturze 20*C

Ciecz	Względny ciężar właściwy	Moduł ściśliwości	Lepkość Pa* s	Napięcie powierzchniowe * 10^3
Benzyna	0.88	1.035	0.655	29.2
Olej rycynowy	0.96	1.45	985.0	39.4
Czterochlorek węgla	1.59	1.10	0.975	26.2
Alkohol etylowy	0.79	1.2	1.2	21.9
Gliceryna	1.26	4.34	861.0	62.9
Olej lniany	0.94	−	44.0	33.6
Rtęć	13.55	26.2	1.55	51.0
Oliwa	0.91	1.59	84.4	33.6
Terpentyna	0.86	−	1.49	26.2
Woda	1.00	2.07	1.0	73.0

TABLICA 1.2. Własności fizyczne wybranych gazów

Rodzaj gazu	Znak chemiczny	Masa cząsteczkowa	Gęstość przy T = 273 [K] p = 760 [mm Hg]	Stała gazowa R
Hel	He	4	0.178	2079.0
Argon	A	40	1.784	208.2
Tlen	O2	32	1.429	259.8
Azot	N2	28	1.250	296.7
Wodór	H2	2	0.0898	4121.7
Powietrze	−	(29)	1.293	287.0
Tlenek węgla	CO	28	1.250	296.9
Dwutlenek węgla	CO2	44	1.976	188.8
Para wodna	H2O	18	0.804	461.5
Amoniak	NH3	17	0.771	488.0
Acetylen	C2 H2	26	1.170	319.6
Metan	CH4	16	0.716	518.8
Etylen	C2 H4	28	1.260	296.7

1.4. Pola i ich klasyfikacja

Pole jest podstawowym pojęciem w teorii ruchu płynów o strukturze ciągłej. Jest to obszar, w którym pewna wielkość fizykalna jest funkcją ciągłą punktu, czyli każdemu punktowi obszaru przyporządkowana jest określona wartość tej wielkości fizykalnej. Wszystkie wielkości fizykalne, opisujące ruch płynu, mogą być przedstawione jako odpowiednie pola - stąd też teoria pola ma podstawowe znaczenie w teoretycznej mechanice płynów o strukturze ciągłej.

Oznaczmy literą H rozpatrywaną wielkość fizykalną, a literami x, y, z współrzędne punktów obszaru. Wtedy w polu wielkości H będzie określona funkcja

(1.16)

Jeżeli w każdym punkcie pola funkcja ta nie zależy od czasu t, to pole nazywamy ustalonym lub stacjonarnym , tzn.

(1.17)

Jeżeli natomiast H zależy nie tylko od położenia, ale i od czasu, pole nosi nazwę nieustalonego lub niestacjonarnego . Funkcja H jest wówczas funkcją czterech zmiennych

(1.18)

Zależnie od tego, czy H jest wielkością skalarną, wektorową, czy też tensorową - mówić będziemy odpowiednio o polu skalarnym, wektorowym bądź też tensorowym. W mechanice płynów występują te wszystkie rodzaje pól.

Nazwa pola może być też utworzona od wielkości fizykalnej tworzącej pole: można np. mówić o polu temperatur, polu prędkości, polu sił grawitacyjnych itd.

Jeżeli wielkość polowa H  jest funkcją wszystkich trzech współrzędnych przestrzennych w układzie prostokątnym ( x, y, z), walcowym ( r, z, ϕ) lub kulistym
( r, θ, ϕ), to pole nazywamy trójwymiarowym lub przestrzennym . Je-żeli wielkość polowa jest funkcją tylko dwu spośród wymienionych współrzędnych przestrzennych, pole nazywamy dwuwymiarowym . Przy tym wyróżniamy dwa następujące przypadki szczególne:

a) pole płaskie

(1.19)

b) pole osiowo-symetryczne

(1.20)

Jeżeli wreszcie można dobrać taki układ odniesienia, w którym wielkość polowa jest funkcją jednej tylko współrzędnej przestrzennej s

(1.21)

otrzymamy pole jednowymiarowe .

W przypadku gdy wielkości określone wzorami (1.16) ÷ (1.21) odnoszą się do wszystkich pól składających się na opis ruchu płynu, stosujemy często odpowiadające tym wzorom nazwy odnoszące się do całego ruchu płynu, np. ruch płaski, ruch osiowo-symetryczny, ruch jednowymiarowy itd.

1.5. Przep*ywy laminarne i turbulentne

Obserwując przepływy występujące w przyrodzie możemy stwierdzić istnienie dwu jakościowo odmiennych rodzajów ruchu płynów lepkich. Pierwszy rodzaj ruchu, w którym poszczególne warstwy płynu nie mieszają się ze sobą w sposób makroskopowo widoczny i przesuwają się po sobie na kształt niezależnych „łusek”, został nazwany ruchem laminarnym (łac. lamina - łuska). Drugi rodzaj ruchu jest to ruch turbulentny (burzliwy). Ruch ten odznacza się niestacjonarnością i przypadkowością; tory poszczególnych elementów są najzupełniej różne i na ogół nie sposób dostrzec w nich jakiejkolwiek prawidłowości lub powtarzalności. Poszczególne warstwy płynu mieszają się ustawicznie, a poszczególne elementy płynu wykazują obok ruchu głównego również nieregularne ruchy w innych kierunkach.

Rys. 1.3

Klasyczne doświadczenie i szczegółowe badania wyjaśniające naturę tych rodzajów przepływów przeprowadził w 1883 r. Osborne Reynolds. Polegało ono na obserwacji zachowania się zabarwionej strugi cieczy w strumieniu płynącym ruchem jednostajnym szklaną rurą (rys. 1.3).

Przy bardzo małych prędkościach barwnik układał się w cienką linię równoległą do osi przewodu - co oznacza, że wszystkie cząsteczki cieczy poruszały się po prostych torach równoległych. Po przekroczeniu pewnej prędkości obraz gwałtownie się zmieniał: zabarwiona struga zaczynała pulsować, rozpływać się i szybko zanikać. Dowodziło to występowania, oprócz przesunięć w kierunku głównym, również dodatkowych ruchów poprzecznych, powodujących wymianę cząstek między poszczególnymi strugami i mieszanie się obu cieczy. Nastąpiła więc istotna zmiana mechanizmu przepływu, gdyż tory cząstek stały się przypadkowymi liniami łamanymi, różnymi dla każdej cząstki.

Na podstawie wyników własnych badań Reynolds ustalił, że zmiana charakteru przepływu zależy od wartości bezwymiarowej liczby, nazwanej później liczbą Reynoldsa i oznaczanej symbolem Re

(1.22)

gdzie U jest prędkością przepływu, a l jego wymiarem charakterystycznym.

Liczbę Reynoldsa odpowiadającą przejściu przepływu laminarnego w turbulentny nazywamy krytyczną liczbą Reynoldsa. Jej wartość zależy od wielu czynników ubocznych, jak np. od kształtu wlotu do przewodu, stopnia gładkości ścian przewodu, wstępnych zaburzeń mechanicznych cieczy, drgań przewodu itp. Ponadto przejście z przepływu turbulentnego w laminarny odbywa się przy mniejszej wartości krytycznej liczby Reynoldsa, niż przejście z przepływu laminarnego w turbulentny. W związku z tym ważna jest dolna wartość krytycznej liczby Reynoldsa , poniżej której obserwujemy stałość ruchu laminarnego - i górna wartość liczby Reynoldsa , powyżej której panuje tylko ruch turbulentny. W przedziale przepływ cieczy może być albo laminarny, albo turbulentny - zależnie od pobocznych czynników zakłócających. Przykładowo, ustalone na drodze eksperymentalnej wartości krytycznych liczb Reynoldsa dla przepływów w przewodach okrągłych wynoszą:

(1.23)

ĆWICZENIA

Przykład 1.1. Wyznaczyć zmianę gęstości wody, wynikającą ze zmiany ciśnienia od 0.1 MPa do 10.0 MPa. Moduł ściśliwości wody K = 2.070 GPa.

Z równania (1.11) mamy

.

Przyjmując stałą wartość K, otrzymujemy

i następnie po rozwinięciu funkcji exp w szereg Taylora oraz podstawieniu danych liczbowych uzyskujemy

Możemy więc stwierdzić, że założenie upraszczające, traktujące o nieściśliwości wody, wydaje się być całkowicie uzasadnione; ciśnienie zmieniło się bowiem o dwa rzędy wielkości, a procentowa zmiana gęstości wody jest mniejsza niż 0.5 % .

Przykład 1.2. Siłownik hydrauliczny (rys. 1.4) o średnicy tłoka D = 80 mm i skoku s = 500 mm całkowicie wypełniono olejem, którego moduł ściśliwości
Obliczyć przesunięcie
tłoka, jeżeli tłoczysko poddamy działaniu siły P = 30 kN.

Rys. 1.4

Obliczamy przyrost ciśnienia

i moduł ściśliwości

gdzie

oraz

W związku z tym

,

a po przekształceniu

czyli

Przykład 1.3. Lepkość dynamiczna nafty w temperaturze
wynosi
Wyznaczyć lepkość kinematyczną nafty, jeżeli w temperaturze
jej gęstość jest równa
a współczynnik rozszerzalności cieplnej (objętościowej) -

Z przekształconego wzoru (1.12) dla
oraz
mamy

zatem

gdzie:
- gęstość nafty w temperaturze

Przykład 1.4. Woda o lepkości Pa⋅s wypływa przez szczelinę w zbiorniku. Rozkład prędkości wody opisuje równanie

gdzie:

y - odległość mierzona od jednej ścianki szczeliny,

a = 0.131⋅10⁹ ; m.

Wyznaczyć: naprężenie styczne na ściance szczeliny, naprężenie styczne w odległości y = 15 μm od ścianki, położenie punktu odpowiadającego zerowemu naprężeniu.

Na podstawie równania (1.6) naprężenie styczne jest określone wzorem

w naszym przypadku mamy więc

Z uzyskanego wzoru obliczamy:

a) dla y = 0,
= μ a b = 9.2 Pa,

b) dla y = 15 μm, τ = 4.67 Pa,

c) τ = 0 dla naprężenie styczne jest równe zeru na osi symetrii szczeliny.

17

---