Ostatnie równanie dowodzi, że:

(8.75)

Podstawiamy wyrażenie na
z (8.75) do (8.73) i otrzymujemy równanie dla funkcji

Zatem

,

gdzie A i B są dowolnymi stałymi. Jeżeli dla ustalonego y, to i

Jeżeli dla ustalonego t, to oraz:

,

Stąd wynika, że dla ustalonej wartości y prędkość dąży do V, gdy , tzn. w miarę upływu czasu ścianka nadaje danej cząstce cieczy prędkość

Przykład 8.7. Należy wykazać występowanie paradoksu Stokesa, uniemożliwiającego konstruowanie przepływów pełzających w płaskich obszarach nieograniczonych, rozważając zagadnienie opływu cylindra o promieniu R jednorodnym strumieniem stacjonarnym cieczy lepkiej (rys. 8.12).

Do rozwiązania zagadnienia użyjemy równania Stokesa ruchu cieczy lepkiej w układzie współrzędnych cylindrycznych. Wprowadzając funkcję prądu, spełniającą równanie ciągłości, określoną związkami:

,

Rys. 8.12

możemy zapisać równanie Stokesa w postaci równania biharmonicznego

(8.76)

Do rozwiązania równania (8.76) zastosujemy metodę rozdzielenia zmiennych przyjmując

Po podstawieniu będziemy mieli:

Rozwiązanie ogólne tego równania różniczkowego

ma postać

.

Powrót do funkcji f daje równanie różniczkowe

i następnie otrzymujemy:

Wracając do funkcji prądu i wyrażeń dla składowych wektora prędkości uzyskujemy:

gdzie wartości stałych całkowania A, B, C są wyznaczane z warunków brzegowych.

W nieskończenie wielkiej odległości od cylindra funkcja prądu powinna być równa funkcji prądu dla opływu cylindra cieczą doskonałą, co wymaga spełnienia warunku

Z tego warunku wynika, że powinny znikać stałe A i B oraz należy przyjąć:
C = U. Jedyna pozostała stała D nie może jednak spełniać równocześnie dwóch warunków znikania na okręgu składowych i wektora prędkości

Przykład 8.8. Kula o promieniu a, umieszczona w nieograniczonej przestrzeni wypełnionej cieczą lepką , obraca się z prędkością kątową wokół osi z. Zbadać ruch cieczy wywołany obrotem kuli, jeżeli obrót kuli jest powolny (ω małe).

Jako prędkość charakterystyczną ruchu możemy przyjąć prędkość punktów równika kuli równą
wtedy liczba Reynoldsa

.

Ponieważ prędkość kątowa jest mała, więc liczba Reynoldsa też będzie mała. Na mocy tego założenia w równaniach ruchu, zapisanych w układzie współrzędnych sferycznych
możemy odrzucić ich lewe strony. Tak otrzymane równania ruchu będą spełnione, jeżeli przyjmiemy, że

prędkość będzie zależeć tylko od r i θ

i powinna spełniać równanie

(8.77)

Na powierzchni kuli cząstki cieczy powinny poruszać się z tą samą prędkością liniową
jaką mają punkty kuli, stąd mamy warunek graniczny

(8.78)

Na mocy warunku (8.78) będziemy poszukiwać rozwiązania równania (8.77) w po-staci

(8.79)

Po podstawieniu (8.79) do (8.77) uzyskujemy równanie różniczkowe Eulera

którego rozwiązaniem ogólnym jest funkcja

Stałe całkowania
, wyznaczamy z warunków brzegowych. Otóż, dla powinno być V = 0, stąd
Z warunku (8.83) znajdziemy, że
więc

.

Obliczymy jeszcze wielkość momentu konieczną do podtrzymania ruchu kuli. Naprężenia styczne (sił tarcia) na powierzchni kuli:

i moment sił tarcia

Moment potrzebny do utrzymania ruchu jest więc równy:

Przykład 8.9. Dwie okrągłe płaskie równoległe płytki o promieniu R każda, znajdując się w niewielkiej odległości jedna nad drugą, zbliżają się jednostajnie do siebie. Określić ruch warstwy cieczy zawartej między płytkami oraz wyznaczyć siły oporu działające na każdą z płytek.

Rys. 8.13

Wprowadzając założenia upraszczające, analogiczne do założeń przyjętych w rozdziale 8.6, układ równań (8.38), zapisany (rys. 8.13a) we współrzędnych walcowych dla składowych wektora prędkości:

,

zredukuje się do postaci:

Ze względności ruchu wynikają warunki brzegowe:

u = w = 0 dla z = 0 ,

u = 0, w = − U dla z = h ,

dla r = R ;

tutaj U jest prędkością górnej płytki (dolną uważamy za nieruchomą), h jest grubością warstwy

Całkując równanie ruchu względem z (tj. w poprzek warstwy) i uwzględniając warunki brzegowe znajdziemy:

(8.80)

Po podstawieniu pierwszego z tych równań do drugiego

(8.81)

Zakładając z = 0 w górnej granicy całkowania, po wykonaniu działań otrzymamy

,

a po rozwiązaniu i uwzględnieniu warunku brzegowego znajdziemy

(8.82)

Siła oporu działająca na każdą z płytek równa się

.

Uwzględniając zależność (8.82) we wzorach (8.80) i (8.81) wyznaczamy składowe ektora prędkości:

.

*

Rozważane zagadnienie można również rozwiązać posługując się układem równań (8.38), zapisanych w układzie współrzędnych prostokątnych (rys. 8.13b):

dla składowych wektora prędkości:

Warunki brzegowe mają postać:

dla

dla

dla

Całkując równania ruchu względem z i uwzględniając sformułowane warunki brzegowe znajdziemy:

Po podstawieniu dwóch pierwszych równań do trzeciego mamy

Założenie z = 0 w górnej granicy całkowania prowadzi do równania Poissona dla ciśnienia

.

Poszukując rozwiązania tego równania w postaci funkcji

po uwzględnieniu warunku brzegowego: dla
otrzymamy

,

a następnie wyrażenia dla składowych prędkości:

Przykład 8.10. Dwie płaszczyzny, tworzące ze sobą bardzo mały kąt
przesuwają się względem siebie ze stałą prędkością U (rys. 8.14). Obszar między tymi płaszczyznami wypełnia ciecz lepka. Należy wyznaczyć ciśnienie i siły działające na górną płaszczyznę.

Dla stacjonarnego przepływu jednowymiarowego równanie Reynoldsa (8.61) upraszcza się do postaci

Rys. 8.14

skąd jest

i następnie

Po kolejnym całkowaniu dla warunków brzegowych

i dla grubości filmu olejowego określonego związkiem

otrzymujemy rozkład ciśnienia

oraz nieznany parametr

Znając ciśnienie możemy obliczyć siłę działającą na górną płytkę

gdzie współczynnik siły nośnej jest określony wzorem:

Różniczkując wyrażenie dla składowej prędkości (8.59a) obliczymy jeszcze na-prężenie styczne

i siłę tarcia działającą na płytkę

250

---