Rys. 7.14

Dla znanych krytycznych wielkości stanu

zaś

stąd

czyli

b. Równanie bilansu energii dla przekroju krytycznego oraz przekroju 1-1 możemy przedstawić w następującej postaci

Ponieważ
przeto

Z przekształcenia ostatniej zależności otrzymamy

a zatem liczba Macha jest równa

Po uwzględnieniu

oraz

dostajemy

c. Z równania ciągłości

wyznaczymy

Podstawiając

a także

otrzymamy

Przykład 7.5. Parametry powietrza przepływającego za prostopadłą falą uderzeniową wynoszą: Wyznaczyć prędkość oraz ciśnienie strumienia powietrza, znajdującego się przed falą uderzeniową.

W obszarze występowania prostopadłej fali uderzeniowej obowiązuje zależność Prandtla (7.58)

Krytyczna prędkość dźwięku wynosi

przy czym

wobec tego

czyli prędkość przed falą uderzeniową wynosi

Po podstawieniu danych liczbowych:


oraz
otrzymamy

Z warunku ciągłości przepływu

wyznaczamy

i podstawiamy do równania adiabaty Hugoniota

skąd

Ponieważ ciśnienie zatem ciśnienie strumienia powietrza przed falą uderzeniową jest równe

Przykład 7.6. Dla jakiej liczby Macha
powstanie prostopadła fala uderzeniowa, jeśli ciśnienie na fali uderzeniowej wzrosło pięć razy? Przyjąć wykładnik izentropy

Rozwiązanie zadania otrzymujemy przy wykorzystaniu równania zachowania pędu (7.46)

z którego po podstawieniu:

otrzymujemy

Podstawiając następnie zależności (7.39):

do przekształconego równania Prandtla (7.58), zapisanego dla prędkości bezwymiarowych (7.35)

uzyskujemy układ równań, z którego mamy

zatem

i ostatecznie

Przykład 7.7. Przeprowadzić przybliżone aerodynamiczne obliczenia silnika strumieniowego z prostym wlotem, na którym powstaje prostopadła fala uderzeniowa, znajdującego się w locie z prędkością
w powietrzu o temperaturze i ciśnieniu Konstrukcyjne parametry silnika (rys. 7.15) są następujące: średnica przekroju wlotowego średnica komory spalania Spalanie paliwa następuje przy stałym ciśnieniu i wywołuje w przekroju C - C wzrost temperatury średniej o
Przyjąć Obliczyć: a) i - prędkość i ciśnienie powietrza za falą uderzeniową, b)
- prędkość, ciśnienie i temperaturę powietrza przed wtryskiem paliwa, c) i - prędkość i ciśnienie gazu po spaleniu paliwa, d) powierzchnię przekroju krytycznego dyszy powierzchnię wylotową oraz prędkość wylotową (przyjmując ).

Rys. 7.15

Wyznaczamy kolejno wszystkie niezbędne parametry określające przepływ powietrza przez silnik strumieniowy:

1) prędkość dźwięku - wzór (7.20), wartość stałej gazowej R zapisana jest w tablicy 1.2

2) liczba Macha - wzór (7.21)

3) temperatura spiętrzenia powietrza - wzór (7.40) dla

4) krytyczna prędkość dźwięku - wzory (7.42) i (7.44)

5) prędkość powietrza - wzór (7.58)

6) liczba Macha - wzory (7.58) i (7.39)

7) ciśnienie statyczne
- obliczone ze wzoru (7.48) dla:

8) ciśnienie spiętrzenia
- wzór (7.59) dla
po uprzednim wyznaczeniu z zależności (7.41)

9) prędkość i ciśnienie statyczne - wynikają z układu równań, uzyskanego ze wzorów (1.14), (3.22) i (7.24), zapisanych dla przekrojów A - A i B - B:

10) liczba Macha i temperatura - wynikają z układu równań (7.20), (7.21) i (7.40) dla znanych i :

11) ciśnienie i temperatura gazu po spaleniu paliwa:

12) prędkość
- wzory (1.13), (7.45)

13) liczba Macha
- wzór (7.21)

14) temperatura spiętrzenia - wzór (7.40) dla

15) ciśnienie spiętrzenia - wzór (7.41) dla

16) przekrój krytyczny dyszy wylotowej - jest określony wzorem (7.68) dla

17) liczba Macha - wzór (7.41) dla znanych i

18) wielkość przekroju wylotowego - wzór (7.68) dla

19) temperatura w przekroju wylotowym - przy wykorzystaniu wzoru (7.40) dla:

20) prędkość w przekroju wylotowym

Przykład 7.8. Wykazać, że charakterystyki (7.77) są liniami możliwych nieciągłości pochodnych parametrów gazu.

Zakładając, że w punkcie
oraz w punkcie sąsiednim
zadane są wartości funkcji oraz
, możemy napisać układ rów-nań określający pochodne cząstkowe:

(7.93)

tych funkcji w punkcie (x, t), składający się z równań (7.69) ÷ (7.70) oraz dwu równań wyrażających różniczki zupełne ρ i V:

(7.94)

Układ (7.94) nie ma rozwiązania, a więc nie określa pochodnych (7.93) wówczas, gdy zniknie jego wyznacznik charakterystyczny:

Powyższe równanie, które może być przepisane w postaci

ma dwa rozwiązania rzeczywiste (7.77), wyznaczające kierunki charakterystyczne w płaszczyźnie O x t .

Przykład 7.9. W rurze znajduje się powietrze ( o temperaturze i gęstości Rura z jednej strony jest zamknięta tłokiem, a z drugiej otwarta i rozciąga się do nieskończoności. W pewnym momencie tłok zaczyna się odsuwać od gazu, a jego ruch jest określony równaniami:

Określić rozkład prędkości
gęstości i prędkości dźwięku w chwilach

Rozważany przepływ jest falą prostą, gdyż wszystkie charakterystyki
wychodzą z obszaru nieruchomego za tłokiem; zatem zgodnie ze wzorem (7.78):

w całym obszarze przepływu.

Po wykorzystaniu tej zależności na mocy (7.83) i (7.87) mamy:

Gęstość na poszczególnych charakterystykach pierwszej rodziny wyznaczamy ze wzoru

Rys. 7.16

Wyniki obliczeń dla kolejnych chwil czasowych są następujące:

t = 0

t = 2

t = 4

t = 6

Charakterystyki i wykres drogi ruchu tłoka przedstawione są na rys. 7.16.

Przykład 7.10. Strumień powietrza o wydatku
przepływa izolowaną rurą o stałym przekroju Na wlocie do rury panuje ciśnienie =  i temperatura Obliczyć liczbę Macha na wlocie do rury oraz liczbę Macha, temperaturę i ciśnienie na wylocie z rury. Przyjąć
Ciśnienie na zewnątrz rury jest tak małe, że nie wpływa na przepływ w rurze.

Parametry na wlocie do rury:

1) gęstość

2) prędkość

3) liczba Macha

4) temperatura spiętrzenia

5) krytyczna prędkość dźwięku

Parametry na wylocie z rury:

1) długość zredukowana

2) współczynnik prędkości - wzór (7.91)

3) liczba Macha - wzór (7.39)

4) prędkość

5) gęstość

6) temperatura - wzór (7.40)

7) ciśnienie

206

---