wykres funkcji jest naszkicowany na rys. 5.31. Funkcja ta przybiera maksymalną wartość dla prędkości zwanej prędkości* krytyczną

(5.57)

w punkcie odpowiadającym najwyżej położonemu punktowi dna.

Jeśli w dowolnym punkcie dna

to prędkość nazywamy podkrytyczną; w przeciwnym wypadku prędkość

,

nazywamy nadkrytyczną.

Ze znaku pochodnej (rys. 5.31) wynika, że w zakresie podkrytycznym prędkość cieczy wzrasta, gdy dno się podnosi; w zakresie nadkrytycznym, gdy dno opada.

ĆWICZENIA

Przykład 5.1. Wykazać, że na zakręcie rzeki przy brzegu wewnętrznym prędkość przepływu jest większa, a poziom niższy niż przy brzegu zewnętrznym.

Rys. 5.32

Traktując ruch jako ustalony i niewirowy oraz obierając początek układu współrzędnych cylindrycznych we wspólnym środku krzywizn punktów A i B obu brzegów (rys. 5.32), mamy dla składowych prędkości:

Wyrażenia dla składowych rotacji prędkości są następujące:

,

,

.

Uwzględniając, że ruch jest niewirowy, znajdujemy:

Oprócz tego z równania ciągłości

wynika, że

stąd wyznaczamy

.

Ta zależność wskazuje, że przy prawidłowej formie zakrętu dla , kiedy krzywizny punktów A i B u obu brzegów mają wspólny środek krzywizny, jest

.

Z równania Bernoulliego, oznaczając przez
i
wysokości poziomów cieczy w punktach A i B na powierzchni, otrzymujemy

;

zatem na mocy ostatniej nierówności mamy:
.

Przykład 5.2. Z dużego otwartego zbiornika wypływa woda przez przewód składający się z dwóch odcinków o średnicach i (rys. 5.33). Oś przewodu znajduje się w odległości H od zwierciadła wody w zbiorniku. Obliczyć prędkości i  oraz ciśnienia i panujące w poszczególnych odcinkach przewodu.

Rys. 5.33

Przyjmując założenia: , piszemy równanie Ber-noulliego (5.5)

i wyznaczamy

Następnie z równania ciągłości (3.23)

otrzymujemy

Ponowne wykorzystanie równania Bernoulliego, zapisanego dla przekrojów 0-0 oraz 1-1

zezwala na obliczenie ciśnienia

.

Przykład 5.3. Woda wypływa z przewodu w ilości Qrz= 0.2
do zbiornika (rys. 5.34). W dnie zbiornika znajduje się otwór o średnicy d = 1 cm z cylindryczną zewnętrzną przystawką o długości L = 2.5 d (α β = 0.82). Do jakiej wysokości H napełni się zbiornik?

Rys. 5.34

Uwzględniając:
, piszemy równanie Bernoulliego

Ze wzoru na wydatek rzeczywisty (5.13)

obliczamy prędkość
i podstawiamy do wyrażenia na H + L, stąd

Przykład 5.4. W przewód o średnicy D = 12 cm wbudowano kryzę z otworem o średnicy d = 5 cm (rys. 5.35). Pomiar różnicy ciśnień statycznych przed i za kryzą wykonano manometrem wodnym, którego wskazanie wynosi h = 250 mm. Obliczyć wydatek powietrza przepływającego przez przewód (
= 1.3
), traktując powietrze jako ośrodek nieściśliwy.

Rys. 5.35

Prędkość
obliczymy z równania Bernoulliego i równania ciągłości

skąd po przekształceniach otrzymamy

Zatem wydatek powietrza wynosi

.

Przykład 5.5. Wyznaczyć współczynnik straty lokalnej ζ dla gwałtownie rozszerzającego się przewodu od przekroju
do przekroju
(rys. 5.36).

Rys. 5.36

Dla przekrojów 1-1 i 2-2 piszemy równanie Bernoulliego

przyjmując
oraz równanie wynikające z zasady zachowania pędu (5.44)

skąd dla
mamy

Po wstawieniu tej zależności do równania Bernoulliego i uwzględnieniu równania ciągłości
otrzymamy

jest więc

Przykład 5.6. Określić wydatek masowy benzyny przepływającej przez rozpylacz silnika lotniczego (rys. 5.37), jeśli: ilość zasysanego powietrza
średnica rury wylotowej gaźnika D = 10 cm, obrzeże rury ma wejście ostre, dla którego
0.5, średnica przewężenia dyszy d = 5 cm, współczynnik strat przy przepływie przez przewężenie
0.06, średnica otworu rozpylacza
 = 1 mm, w ko-morze panuje ciśnienie atmosferyczne, współczynnik wydatku α β = 0.82, gęstość benzyny  = 700
gęstość powietrza
= 1.29

Rys. 5.37

Układamy równanie Bernoulliego dla przekrojów 1-1 i 2-2

do którego podstawiamy:

i obliczamy następnie podciśnienie w gardzieli

Znając podciśnienie w gardzieli gaźnika napiszemy z kolei równanie Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i 3-3

z którego dla i obliczamy prędkość wypływu benzyny z rozpylacza

oraz jej wydatek masowy

Przykład 5.7. W zamkniętym zbiorniku, zawierającym wodę o temperaturze t = 18°C (ν = 0.01 ), znajduje się nad powierzchnią wody gaz o nadciśnieniu = 200
(rys. 5.38). Na stałej głębokości H = 1 m pod zwierciadłem wody dołączono do zbiornika przewód o długości L = 15 m. Jaka powinna być średnica przewodu, jeśli wydatek wypływającej wody ma wynosić Q = 6 ? Rura jest gładka.

Rys. 5.38

Z równania Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i 1-1

po wykorzystaniu wzoru na wydatek
oraz pominięciu straty energii i straty lokalnej w stosunku do straty tarcia, otrzymamy zależność

którą rozwiązujemy metodą kolejnych przybliżeń:

118