Na mocy wzoru o różniczkowaniu całki o zmiennych granicach wyprowadzamy zależności:

które po dodaniu stronami zezwalają na uzyskanie następującego związku

(8.61)

gdyż prędkości elementów oleju znajdujących się na powierzchniach i są określone pochodnymi substancjalnymi funkcji (8.54)

i muszą spełniać na tych powierzchniach warunki kinematyczne

.

Uśredniając również gęstość w przekroju poprzecznym filmu olejowego, po podstawieniu wyrażeń określających składowe prędkości (8.59) do związku (8.61), otrzymamy znane równanie Reynoldsa

(8.62)

Dołączając do tego równania uproszczone równanie energii, np.

,

równanie stanu
oraz zależności dla lepkości
i przewodności cieplnej
otrzymamy zamknięty układ równań dla ciśnienia i temperatury. Pozostaje jeszcze problem przyjęcia odpowiednich warunków brzegowych, które muszą określać rozkład ciśnienia (lub jego gradientu) na granicy filmu smarnego oraz rozkład strumienia ciepła na powierzchniach

ĆWICZENIA

Przykład 8.1. Sformułować zagadnienie jednowymiarowego ruchu powietrza znajdującego się w obszarze ograniczonym dwiema równoległymi ściankami. Jedna ścianka jest nieruchoma, natomiast druga porusza się w kierunku normalnej z prędkością określoną zależnościami

w których , b i są znane. Droga ruchomej ścianki i obszar Ω wypełniony powietrzem zostały przedstawione schematycznie na rys. 8.7.

Powietrze w chwili początkowej jest w stanie spoczynku i zadane są jego parametry spiętrzenia. Temperatura obu ścianek, równa temperaturze spiętrzenia powietrza, jest jednakowa i stała w czasie. Pomijamy zewnętrzne pole sił masowych, a powietrze traktujemy jako gaz doskonały w sensie termodynamicznym.

W rozważanym zagadnieniu występują cztery funkcje niewiadome:

które przy przyjętych założeniach są określone następującym układem równań:

Rys. 8.7

Układ równań uzupełnimy warunkami początkowymi:

oraz warunkami brzegowymi:

przy czym oraz
są znane.

Warto zwrócić uwagę na fakt, że w warunkach brzegowych i początkowych nie występuje ciśnienie oraz, że w warunkach brzegowych nie występuje gęstość.

Przykład 8.2. Ciecz lepka przepływa pod działaniem stałego ciśnienia między dwiema poziomymi nieograniczonymi płaszczyznami znajdującymi się w odległości 2 h jedna od drugiej (rys. 8.8). Określić rozkład prędkości w cieczy.

Zakładamy, że rozważany ruch jest ustalonym ruchem płaskim, w którym przyjmujemy ponadto Vy = 0. Z równania ciągłości oraz równania (8.49c) wynika zatem,

Rys. 8.8

że oraz
ruch cieczy opisuje więc równanie różniczkowe zwy-czajne

uzyskane z równania Naviera-Stokesa (8.49b). Rozwiązanie tego równania możemy zapisać w postaci

,

przyjmując następujące warunki brzegowe:

W szczególnym przypadku, gdy otrzymujemy tzw. płaski przepływ Poiseuille'a (rys. 8.9a), gdy zaś
i - przepływ Couette'a (rys. 8.9b).

Rys. 8.9

Przykład 8.3. Zbadać w polu sił ciężkości ruch warstwy cieczy lepkiej o grubości
- ograniczonej od góry powierzchnią swobodną, a od dołu nieruchomą płaszczyzną, nachyloną do poziomu pod kątem

We współrzędnych prostokątnych
mierzonych - odpowiednio - wzdłuż nie-ruchomej płaszczyzny i w kierunku normalnym do niej, składowe sił masowych są równe:

Po przyjęciu takich samych założeń jak w przykładzie poprzednim dla płaskiego przepływu Couette'a, równania ruchu sprowadzają się do następującego układu równań różniczkowych zwyczajnych:

Rozwiązania tego układu równań:

dla warunków brzegowych:

są następujące:

Obliczymy jeszcze wydatek objętościowy i średnią prędkość przepływu:

Przykład 8.4. Ciecz lepka płynie w poziomej nieograniczonej rurze o przekroju kołowym (rys. 8.10) pod działaniem stałego gradientu ciśnienia. Określić rozkład prędkości w cieczy, współczynnik Coriolisa (5.20) i współczynnik strat liniowych λ, przy pominięciu pola sił masowych.

Rys. 8.10

Zakładamy, że ruch w rurze jest ruchem ustalonym, prostoliniowym i osiowosymetrycznym; zatem jest

Z równania ciągłości oraz równania Naviera-Stokesa (8.38) wynika, że składowa prędkości nie zmienia się wzdłuż osi rury, a ciśnienie jest stałe w poszczególnych przekrojach poprzecznych:

Po tych uproszczeniach z równania Naviera-Stokesa zapisanego dla kierunku osi z pozostaje tylko równanie różniczkowe zwyczajne

które może być spełnione tylko wówczas, gdy jego obie strony równają się wspólnej stałej:

We współrzędnych walcowych (r, θ, z), przy założeniu osiowej symetrii ruchu, równanie dla składowej jest następujące (rozdz. 12.5)

Jego całką ogólną jest wyrażenie

z którego po spełnieniu warunków, aby prędkość V była ograniczona i znikała na ściance, otrzymamy ostatecznie rozkład prędkości

Znając rozkład prędkości możemy wyznaczyć wydatek objętościowy cieczy prze-pływającej przez przewód - prawo Hagena i Poiseuille'a

gdzie:

i następnie obliczamy:

1) prędkość średnią

2) współczynnik Coriolisa α (5.20)

3) współczynnik strat liniowych λ (5.24), po określeniu
zgodnie ze wzorem (5.22)

Przykład 8.5. Przestrzeń pomiędzy dwoma współosiowymi cylindrami wypełniona jest cieczą, której współczynnik lepkości kinematycznej jest równy ν, a gęstość ρ. Promienie cylindrów wynoszą odpowiednio:
i

a. Zbadać rozkład prędkości cieczy, jeżeli cylindry zgodnie wirują ze stałymi prędkościami kątowymi
i
(rys. 8.11a).

b. Wyznaczyć prędkość oraz ciśnienie w dowolnym punkcie cieczy, jeżeli nie ma wewnętrznego cylindra, a cylinder zewnętrzny o promieniu R obraca się ze stałą prędkością kątową ω.

c. Określić prędkość oraz ciśnienie, jeżeli nie ma cylindra zewnętrznego, a cylinder wewnętrzny o promieniu R wiruje ze stałą prędkością kątową ω.

d. Obliczyć moment obrotowy, działający na walec wewnętrzny o promieniu
i długości L, znajdujący się w wiskozymetrze Couette'a (rys. 8.11b). Cylinder zewnętrzny wiskozymetru o promieniu
obraca się ze stałą prędkością kątową ω.

W rozważanym przypadku:

oraz:

zatem równania ruchu, w układzie współrzędnych cylindrycznych, redukują się do następujących zależności:

, (8.63)

. (8.64)

Rys. 8.11

a. Całką ogólną równania (8.64) jest funkcja

, (8.65)

przy czym stałe
i
wyznaczamy z warunków brzegowych:

czyli:

(8.66)

(8.66cd.)

Z zależności (8.66) wynika, że:

a po podstawieniu stałych do równania (8.65) otrzymujemy funkcję rozkładu prędkości

. (8.67)

b. Jeżeli nie ma wewnętrznego cylindra, to w rozwiązaniu ogólnym (8.65) stała , gdyż w przeciwnym razie prędkość V w osi cylindra miałaby wartość nieskończenie dużą. W związku z tym

,

gdzie dla r = R

;

stąd:

a zatem

(8.68)

Podstawiając wzór (8.68) do równania (8.63) otrzymujemy

a po scałkowaniu

.

Zakładając, że w osi cylindra panuje ciśnienie atmosferyczne
wyznaczamy stałą całkowania, a wtedy dla r = 0:
czyli
przeto ciśnienie

. (8.69)

c. Gdy nie ma cylindra zewnętrznego, wówczas w równaniu (8.65) stała
w przeciwnym razie byłoby dla
zatem

,

przy czym dla r = R

czyli:

stąd

. (8.70)

Po podstawieniu wzoru (8.70) do równania (8.63) otrzymamy

,

skąd po scałkowaniu dostajemy

.

Dla jest
czyli
a zatem

. (8.71)

d. Naprężenia styczne w cieczy określa następująca zależność

,

wobec tego po podstawieniu wzoru (8.67) i zróżniczkowaniu uzyskamy

Ponieważ:

zatem

.

Moment obrotowy w wiskozymetrze wynosi

gdzie

zatem

; (8.72)

stąd obliczamy współczynnik lepkości kinematycznej

.

Z wyprowadzonego wzoru (8.72) wynika, że moment obrotowy nie zależy od zmiennego promienia r. Wobec tego jego wartość jest taka sama zarówno dla walca wewnętrznego, jak i dla wirującego cylindra.

Przykład 8.6. Lepka, nieściśliwa ciecz zajmuje półprzestrzeń y > 0 i styka się ze ścianką y = 0. W chwili początkowej t = 0 ciecz i ścianka są w spoczynku. Dla
t > 0 ścianka y = 0 porusza się jednostajnie z prędkością V wzdłuż osi x. Określić pojawiający się przy tym przepływ cieczy.

Szukamy rozwiązania w postaci:

Równanie ciągłości
jest spełnione tożsamościowo. Składowe wektora wi-rowości
wynoszą:

,

dlatego równanie (8.40) przyjmuje postać:

Dla
zarówno funkcja
jak i jej pochodne powinny dążyć do zera, dlatego
i

. (8.73)

Funkcja
powinna spełniać warunki:

(8.74)

Zauważmy, że równanie (8.73) i warunki (8.74) są niezmiennicze względem grupy przekształceń afinicznych:

, gdzie a jest dowolną stałą. Stąd wynika, że jeżeli
jest rozwiązaniem, to także funkcja
jest rozwiązaniem tego zagadnienia.

Na mocy jednoznaczności rozwiązania zagadnienia mamy

dla dowolnego a. Stąd w szczególności wynika, że
, więc

235

---