Równania Eulera

Prawo Pascala

Prawo naczyń

połączonych

Wykład 3

PODSTAWY MECHANIKI

PŁYNÓW

Siły działające w płynach

masowe

powierzchniowe

ciężkości

bezwładności

(d’Alamberta

)

zewnętrzne

(np. nacisk

tłoka)

SIŁY

wewnętrzne

(naprężenia,

napięcia)

Siły masowe działają wówczas, gdy płyn znajduje

się w polu sił (ciężkości, bezwładności).

( )

A t

( )

V t

( , , )

x y z

Jednostkową siłę masową definiujemy w postaci:

gdzie:

- jest wektorem głównym elementarnych sił

masowych.

X,Y,Z – składowe jednostkowej siły masowej,

M – elementarna masa płynu.



















lim

Siły powierzchniowe

definiujemy w postaci:

W ogólnym przypadku:

(

)

, , , , , ,

x y z t n n n

ur ur











lim



)

(







Rodzaje ciśnień

Ciśnienie absolutne p

– ciśnienie

mierzone względem absolutnej próżni.

Ciśnienie względne

– ciśnienie mierzone

względem innego ciśnienia.

Nadciśnienie p

– nadwyżka ciśnienia

absolutnego p

nad ciśnieniem barometrycznym

Podciśnienie p

– różnica między

ciśnieniem barometrycznym p

i ciśnieniem

absolutnym p

Równania równowagi

płynów

Siły masowe i powierzchniowe działające na element

płynu

Wypadkowa, elementarna siła powierzchniowa w
kierunku x,y,z

dxdydz

dydz





















dxdydz

dxdz

































dxdydz

dxdy





















Po dodaniu elementarnych sił masowych i
powierzchniowych:

Po podzieleniu przez

dxdydz

otrzymamy

równania Eulera

Postać wektorowa:

Postać
analityczna:

Prawa strona równania jest różniczką zupełną

ciśnienia. Dla

dp=0

otrzymamy równanie

powierzchni jednakowego ciśnienia:

Po pomnożeniu równań Eulera kolejno przez
dx,dy,dz i dodaniu stronami otrzymamy:

Prawo Pascala

W przypadku gdy na płyn nie działają siły

masowe (q=0) równanie Eulera przybiera

postać:

czyli:

Prawo Pascala

– gdyby na płyn

działały siły wyłącznie powierzchniowe, to

ciśnienie miało by jednakową wartość w

każdym punkcie płynu.

Ten warunek spełniony jest w przybliżeniu dla

gazów. Prawo Pascala stosuje się również dla

cieczy, gdy płyn znajduje się pod dużym

ciśnieniem, np. w prasach hydraulicznych.

Równowaga cieczy w polu sił ciężkości

W polu sił ciężkości składowe jednostkowej siły

masowej wynoszą:



Równanie powierzchni jednakowego ciśnienia ma

postać:

W polu sił ciężkości powierzchnie
jednakowego ciśnienia są poziomymi
płaszczyznami.

Czyli:

Różniczka i całkowita zmiana ciśnienia określona
jest wzorem:

Ciśnienie zmienia się liniowo tylko w kierunku
pionowym (osi z).

const

gdz







gdz











(

)

p p

= -

p – p

ciśnienie hydrostatycze

- wysokość ciśnienia

hydrostatycznego,

Stałą c wyznaczamy z warunku

brzegowego:

zatem

gdy























Prawo naczyń połączonych

Cząstki cieczy należące do tej samej masy

ciekłej, leżące na tej samej płaszczyźnie

poziomej, podlegają działaniu jednakowego

ciśnienia.

Zgodnie z prawem naczyń połączonych

p 











Z prawa naczyń połączonych:





para rtęci

p �

Barometr

(

)

p =p

ponieważ

1, to

z z

g z

D =

� �

D = � �

� �

= +

�

� �

D = -

�

� �

�

� �

D �

Błąd: np. d=5 mm, D=80 mm,

0,4%

� �=

� �





ponieważ , to











� �

D =� �

� �

sin

z l





gdy

, to



p

Document Outline